Theorem hvsubeq0 29005

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7179	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 0ℎ))
3		eqeq1 2742	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = 𝐵))
4	2, 3	bibi12d 349	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = 𝐵)))
5		oveq2 7180	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0ℎ))
7		eqeq2 2750	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	6, 7	bibi12d 349	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9		ifhvhv0 28959	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
10		ifhvhv0 28959	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
11	9, 10	hvsubeq0i 29000	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))
12	4, 8, 11	dedth2h 4473	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4414  (class class class)co 7172   ℋchba 28856  0_ℎc0v 28861   −_ℎ cmv 28862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-hvcom 28938  ax-hvass 28939  ax-hv0cl 28940  ax-hvaddid 28941  ax-hfvmul 28942  ax-hvmulid 28943  ax-hvdistr2 28946  ax-hvmul0 28947

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-ltxr 10760  df-sub 10952  df-neg 10953  df-hvsub 28908

This theorem is referenced by:  hvaddeq0  29006  hvmulcan  29009  hvmulcan2  29010  hi2eq  29042  shuni  29237  unopf1o  29853  riesz4i  30000  hmopidmchi  30088  cdjreui  30369