HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubeq0 28844
Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubeq0 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubeq0
StepHypRef Expression
1 oveq1 7162 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21eqeq1d 2823 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 0))
3 eqeq1 2825 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = 𝐵))
42, 3bibi12d 348 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = 𝐵)))
5 oveq2 7163 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65eqeq1d 2823 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 0))
7 eqeq2 2833 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
86, 7bibi12d 348 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
9 ifhvhv0 28798 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
10 ifhvhv0 28798 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
119, 10hvsubeq0i 28839 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))
124, 8, 11dedth2h 4523 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  ifcif 4466  (class class class)co 7155  chba 28695  0c0v 28700   cmv 28701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-hvcom 28777  ax-hvass 28778  ax-hv0cl 28779  ax-hvaddid 28780  ax-hfvmul 28781  ax-hvmulid 28782  ax-hvdistr2 28785  ax-hvmul0 28786
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871  df-neg 10872  df-hvsub 28747
This theorem is referenced by:  hvaddeq0  28845  hvmulcan  28848  hvmulcan2  28849  hi2eq  28881  shuni  29076  unopf1o  29692  riesz4i  29839  hmopidmchi  29927  cdjreui  30208
  Copyright terms: Public domain W3C validator