Theorem hvsubeq0 31069

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7362	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 0ℎ))
3		eqeq1 2737	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = 𝐵))
4	2, 3	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = 𝐵)))
5		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0ℎ))
7		eqeq2 2745	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	6, 7	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9		ifhvhv0 31023	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
10		ifhvhv0 31023	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
11	9, 10	hvsubeq0i 31064	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))
12	4, 8, 11	dedth2h 4536	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4476  (class class class)co 7355   ℋchba 30920  0_ℎc0v 30925   −_ℎ cmv 30926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-hvcom 31002  ax-hvass 31003  ax-hv0cl 31004  ax-hvaddid 31005  ax-hfvmul 31006  ax-hvmulid 31007  ax-hvdistr2 31010  ax-hvmul0 31011

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-sub 11357  df-neg 11358  df-hvsub 30972

This theorem is referenced by:  hvaddeq0  31070  hvmulcan  31073  hvmulcan2  31074  hi2eq  31106  shuni  31301  unopf1o  31917  riesz4i  32064  hmopidmchi  32152  cdjreui  32433