HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjdifnormi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdifnormi 29602
Description: Theorem 4.5(v)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjdifnormi (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴))))

Proof of Theorem pjdifnormi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6448 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((proj𝐺)‘𝐴) = ((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
2 fveq2 6448 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((proj𝐻)‘𝐴) = ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
31, 2oveq12d 6942 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = (((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) − ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
4 id 22 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
53, 4oveq12d 6942 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) − ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
65breq2d 4900 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ 0 ≤ ((((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) − ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
7 2fveq3 6453 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) = (norm‘((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
8 2fveq3 6453 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)) = (norm‘((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
97, 8breq12d 4901 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
106, 9bibi12d 337 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴))) ↔ (0 ≤ ((((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) − ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))))
11 pjco.2 . . 3 𝐻C
12 ifhvhv0 28455 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
13 pjco.1 . . 3 𝐺C
1411, 12, 13pjdifnormii 29118 . 2 (0 ≤ ((((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) − ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
1510, 14dedth 4363 1 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  ifcif 4307   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  cle 10414  chba 28352   ·ih csp 28355  normcno 28356  0c0v 28357   cmv 28358   C cch 28362  projcpjh 28370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cc 9594  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354  ax-hilex 28432  ax-hfvadd 28433  ax-hvcom 28434  ax-hvass 28435  ax-hv0cl 28436  ax-hvaddid 28437  ax-hfvmul 28438  ax-hvmulid 28439  ax-hvmulass 28440  ax-hvdistr1 28441  ax-hvdistr2 28442  ax-hvmul0 28443  ax-hfi 28512  ax-his1 28515  ax-his2 28516  ax-his3 28517  ax-his4 28518  ax-hcompl 28635
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-lm 21445  df-haus 21531  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cfil 23465  df-cau 23466  df-cmet 23467  df-grpo 27924  df-gid 27925  df-ginv 27926  df-gdiv 27927  df-ablo 27976  df-vc 27990  df-nv 28023  df-va 28026  df-ba 28027  df-sm 28028  df-0v 28029  df-vs 28030  df-nmcv 28031  df-ims 28032  df-dip 28132  df-ssp 28153  df-ph 28244  df-cbn 28295  df-hnorm 28401  df-hba 28402  df-hvsub 28404  df-hlim 28405  df-hcau 28406  df-sh 28640  df-ch 28654  df-oc 28685  df-ch0 28686  df-shs 28743  df-pjh 28830
This theorem is referenced by:  pjnormssi  29603
  Copyright terms: Public domain W3C validator