Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpar 28916
 Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpar ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) + ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm𝐴)↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))))

Proof of Theorem normpar
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7153 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
21oveq1d 7145 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2))
3 fvoveq1 7153 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
43oveq1d 7145 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2))
52, 4oveq12d 7148 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) + ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2)))
6 fveq2 6643 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm𝐴) = (norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
76oveq1d 7145 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm𝐴)↑2) = ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2))
87oveq2d 7146 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (2 · ((norm𝐴)↑2)) = (2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)))
98oveq1d 7145 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((2 · ((norm𝐴)↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))))
105, 9eqeq12d 2837 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) + ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm𝐴)↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2)))))
11 oveq2 7138 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1211fveq2d 6647 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1312oveq1d 7145 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
14 oveq2 7138 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1514fveq2d 6647 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1615oveq1d 7145 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
1713, 16oveq12d 7148 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)))
18 fveq2 6643 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm𝐵) = (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1918oveq1d 7145 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm𝐵)↑2) = ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2))
2019oveq2d 7146 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (2 · ((norm𝐵)↑2)) = (2 · ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2)))
2120oveq2d 7146 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2))))
2217, 21eqeq12d 2837 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2)))))
23 ifhvhv0 28783 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
24 ifhvhv0 28783 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
2523, 24normpari 28915 . 2 (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2)))
2610, 22, 25dedth2h 4497 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) + ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm𝐴)↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ifcif 4440  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   + caddc 10517   · cmul 10519  2c2 11670  ↑cexp 13413   ℋchba 28680   +ℎ cva 28681  normℎcno 28684  0ℎc0v 28685   −ℎ cmv 28686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-hfvadd 28761  ax-hv0cl 28764  ax-hfvmul 28766  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-hnorm 28729  df-hvsub 28732 This theorem is referenced by:  hhph  28939
 Copyright terms: Public domain W3C validator