HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpar 30675
Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpar ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))))

Proof of Theorem normpar
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7434 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต)))
21oveq1d 7426 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
3 fvoveq1 7434 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต)))
43oveq1d 7426 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
52, 4oveq12d 7429 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)))
6 fveq2 6890 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
76oveq1d 7426 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2))
87oveq2d 7427 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)))
98oveq1d 7426 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))))
105, 9eqeq12d 2746 . 2 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) โ†” (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)))))
11 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1211fveq2d 6894 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
1312oveq1d 7426 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2))
14 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1514fveq2d 6894 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
1615oveq1d 7426 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2))
1713, 16oveq12d 7429 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2)))
18 fveq2 6890 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ต) = (normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1918oveq1d 7426 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2))
2019oveq2d 7427 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2)))
2120oveq2d 7427 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2))))
2217, 21eqeq12d 2746 . 2 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) โ†” (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2)))))
23 ifhvhv0 30542 . . 3 if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
24 ifhvhv0 30542 . . 3 if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
2523, 24normpari 30674 . 2 (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2)))
2610, 22, 25dedth2h 4586 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  ifcif 4527  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   + caddc 11115   ยท cmul 11117  2c2 12271  โ†‘cexp 14031   โ„‹chba 30439   +โ„Ž cva 30440  normโ„Žcno 30443  0โ„Žc0v 30444   โˆ’โ„Ž cmv 30445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hfvadd 30520  ax-hv0cl 30523  ax-hfvmul 30525  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-hnorm 30488  df-hvsub 30491
This theorem is referenced by:  hhph  30698
  Copyright terms: Public domain W3C validator