HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpar 30408
Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpar ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))))

Proof of Theorem normpar
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7432 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต)))
21oveq1d 7424 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
3 fvoveq1 7432 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต)))
43oveq1d 7424 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
52, 4oveq12d 7427 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)))
6 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
76oveq1d 7424 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2))
87oveq2d 7425 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)))
98oveq1d 7424 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))))
105, 9eqeq12d 2749 . 2 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) โ†” (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)))))
11 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1211fveq2d 6896 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
1312oveq1d 7424 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2))
14 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1514fveq2d 6896 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
1615oveq1d 7424 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2))
1713, 16oveq12d 7427 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2)))
18 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ต) = (normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1918oveq1d 7424 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2))
2019oveq2d 7425 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2)))
2120oveq2d 7425 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2))))
2217, 21eqeq12d 2749 . 2 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) โ†” (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2)))))
23 ifhvhv0 30275 . . 3 if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
24 ifhvhv0 30275 . . 3 if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
2523, 24normpari 30407 . 2 (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2)))
2610, 22, 25dedth2h 4588 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   + caddc 11113   ยท cmul 11115  2c2 12267  โ†‘cexp 14027   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173  normโ„Žcno 30176  0โ„Žc0v 30177   โˆ’โ„Ž cmv 30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hfvadd 30253  ax-hv0cl 30256  ax-hfvmul 30258  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-hnorm 30221  df-hvsub 30224
This theorem is referenced by:  hhph  30431
  Copyright terms: Public domain W3C validator