Theorem normpar 31637

Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normpar	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem normpar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
2	1	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2))
3		fvoveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)))
4	3	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2))
5	2, 4	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)) = (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2)))
6		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
7	6	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2))
8	7	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)))
9	8	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))))
10	5, 9	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2)))))
11		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
12	11	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
13	12	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2))
14		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
15	14	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
16	15	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2))
17	13, 16	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2)) = (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2)))
18		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
19	18	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐵)↑2) = ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))
20	19	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2)) = (2 · ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
21	20	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))))
22	17, 21	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))))
23		ifhvhv0 31504	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
24		ifhvhv0 31504	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
25	23, 24	normpari 31636	. 2 ⊢ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
26	10, 22, 25	dedth2h 4542	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   + caddc 11128   · cmul 11130  2c2 12320  ↑cexp 14126   ℋchba 31401   +_ℎ cva 31402  norm_ℎcno 31405  0_ℎc0v 31406   −_ℎ cmv 31407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-hfvadd 31482  ax-hv0cl 31485  ax-hfvmul 31487  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566  ax-his4 31567

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-hnorm 31450  df-hvsub 31453

This theorem is used by:  hhph  31660