HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpar 30139
Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpar ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))))

Proof of Theorem normpar
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7385 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต)))
21oveq1d 7377 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
3 fvoveq1 7385 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต)))
43oveq1d 7377 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
52, 4oveq12d 7380 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)))
6 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
76oveq1d 7377 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2))
87oveq2d 7378 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)))
98oveq1d 7377 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))))
105, 9eqeq12d 2753 . 2 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) โ†” (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)))))
11 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1211fveq2d 6851 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
1312oveq1d 7377 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2))
14 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1514fveq2d 6851 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
1615oveq1d 7377 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2))
1713, 16oveq12d 7380 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2)))
18 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ต) = (normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1918oveq1d 7377 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2))
2019oveq2d 7378 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2)))
2120oveq2d 7378 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2))))
2217, 21eqeq12d 2753 . 2 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) โ†” (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2)))))
23 ifhvhv0 30006 . . 3 if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
24 ifhvhv0 30006 . . 3 if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
2523, 24normpari 30138 . 2 (((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆ’โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) +โ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))โ†‘2)))
2610, 22, 25dedth2h 4550 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4491  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   + caddc 11061   ยท cmul 11063  2c2 12215  โ†‘cexp 13974   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904  normโ„Žcno 29907  0โ„Žc0v 29908   โˆ’โ„Ž cmv 29909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-hfvadd 29984  ax-hv0cl 29987  ax-hfvmul 29989  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-hnorm 29952  df-hvsub 29955
This theorem is referenced by:  hhph  30162
  Copyright terms: Public domain W3C validator