Theorem normpar 31226

Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normpar	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem normpar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7390	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
2	1	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2))
3		fvoveq1 7390	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)))
4	3	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2))
5	2, 4	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)) = (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2)))
6		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
7	6	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2))
8	7	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)))
9	8	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))))
10	5, 9	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2)))))
11		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
12	11	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
13	12	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2))
14		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
15	14	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
16	15	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2))
17	13, 16	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2)) = (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2)))
18		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
19	18	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐵)↑2) = ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))
20	19	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2)) = (2 · ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
21	20	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))))
22	17, 21	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))))
23		ifhvhv0 31093	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
24		ifhvhv0 31093	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
25	23, 24	normpari 31225	. 2 ⊢ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) + ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2)) + (2 · ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
26	10, 22, 25	dedth2h 4526	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12236  ↑cexp 14023   ℋchba 30990   +_ℎ cva 30991  norm_ℎcno 30994  0_ℎc0v 30995   −_ℎ cmv 30996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-hfvadd 31071  ax-hv0cl 31074  ax-hfvmul 31076  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-hnorm 31039  df-hvsub 31042

This theorem is referenced by:  hhph  31249