HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigre 29770
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigre (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigre
StepHypRef Expression
1 fveq2 6674 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
2 oveq2 7178 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
31, 2eqeq12d 2754 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
4 neeq1 2996 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ≠ 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0))
53, 4anbi12d 634 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0)))
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
76, 1oveq12d 7188 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
81, 6oveq12d 7188 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
97, 8eqeq12d 2754 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
109bibi1d 347 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
115, 10imbi12d 348 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))))
12 oveq1 7177 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1312eqeq2d 2749 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
1413anbi1d 633 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0)))
15 eleq1 2820 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
1615bibi2d 346 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ)))
1714, 16imbi12d 348 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))))
18 ifhvhv0 28957 . . . 4 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
19 0cn 10711 . . . . 5 0 ∈ ℂ
2019elimel 4483 . . . 4 if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
2118, 20eigrei 29769 . . 3 (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
2211, 17, 21dedth2h 4473 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
2322imp 410 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  ifcif 4414  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  chba 28854   · csm 28856   ·ih csp 28857  0c0v 28859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-hv0cl 28938  ax-hfvmul 28940  ax-hfi 29014  ax-his1 29017  ax-his3 29019  ax-his4 29020
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-2 11779  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550
This theorem is referenced by:  eighmre  29898
  Copyright terms: Public domain W3C validator