HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigre 31864
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigre (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigre
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
2 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
31, 2eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
4 neeq1 3001 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ≠ 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0))
53, 4anbi12d 632 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0)))
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
76, 1oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
81, 6oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
97, 8eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
109bibi1d 343 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
115, 10imbi12d 344 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))))
12 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1312eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
1413anbi1d 631 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0)))
15 eleq1 2827 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
1615bibi2d 342 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ)))
1714, 16imbi12d 344 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))))
18 ifhvhv0 31051 . . . 4 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
19 0cn 11251 . . . . 5 0 ∈ ℂ
2019elimel 4600 . . . 4 if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
2118, 20eigrei 31863 . . 3 (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
2211, 17, 21dedth2h 4590 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
2322imp 406 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  ifcif 4531  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  chba 30948   · csm 30950   ·ih csp 30951  0c0v 30953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137
This theorem is referenced by:  eighmre  31992
  Copyright terms: Public domain W3C validator