Theorem eigre 32345

Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigre	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
2		oveq2 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
3	1, 2	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
4		neeq1 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ))
5	3, 4	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ)))
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
7	6, 1	oveq12d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
8	1, 6	oveq12d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
9	7, 8	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
10	9	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
11	5, 10	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))))
12		oveq1 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
13	12	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
14	13	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ)))
15		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
16	15	bibi2d 345	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ)))
17	14, 16	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))))
18		ifhvhv0 31532	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
19		0cn 11244	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
20	19	elimel 4552	. . . 4 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
21	18, 20	eigrei 32344	. . 3 ⊢ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
22	11, 17, 21	dedth2h 4542	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
23	22	imp 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ifcif 4482  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  ℂcc 11144  ℝcr 11145  0cc0 11146   ℋchba 31429   ·_ℎ csm 31431   ·_ih csp 31432  0_ℎc0v 31434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-hv0cl 31513  ax-hfvmul 31515  ax-hfi 31589  ax-his1 31592  ax-his3 31594  ax-his4 31595

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-cj 15208  df-re 15209  df-im 15210

This theorem is used by:  eighmre  32473