HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigre 31582
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when ๐‘‡ is a Hermitian operator) for an eigenvalue ๐ต to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigre (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))

Proof of Theorem eigre
StepHypRef Expression
1 fveq2 6882 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
2 oveq2 7410 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
31, 2eqeq12d 2740 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
4 neeq1 2995 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž))
53, 4anbi12d 630 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž)))
6 id 22 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))
76, 1oveq12d 7420 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
81, 6oveq12d 7420 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
97, 8eqeq12d 2740 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
109bibi1d 343 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„) โ†” ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)))
115, 10imbi12d 344 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))))
12 oveq1 7409 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
1312eqeq2d 2735 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
1413anbi1d 629 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž)))
15 eleq1 2813 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„))
1615bibi2d 342 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„) โ†” ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)))
1714, 16imbi12d 344 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„))))
18 ifhvhv0 30769 . . . 4 if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
19 0cn 11205 . . . . 5 0 โˆˆ โ„‚
2019elimel 4590 . . . 4 if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„‚
2118, 20eigrei 31581 . . 3 (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„))
2211, 17, 21dedth2h 4580 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)))
2322imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  ifcif 4521  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107   โ„‹chba 30666   ยทโ„Ž csm 30668   ยทih csp 30669  0โ„Žc0v 30671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-hv0cl 30750  ax-hfvmul 30752  ax-hfi 30826  ax-his1 30829  ax-his3 30831  ax-his4 30832
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050
This theorem is referenced by:  eighmre  31710
  Copyright terms: Public domain W3C validator