Theorem eigre 32196

Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigre	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
2		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
3	1, 2	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
4		neeq1 3020	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ))
5	3, 4	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ)))
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
7	6, 1	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
8	1, 6	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
9	7, 8	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
10	9	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
11	5, 10	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))))
12		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
13	12	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
14	13	anbi1d 642	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ)))
15		eleq1 2851	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
16	15	bibi2d 345	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ)))
17	14, 16	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))))
18		ifhvhv0 31383	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
19		0cn 11202	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
20	19	elimel 4557	. . . 4 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
21	18, 20	eigrei 32195	. . 3 ⊢ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
22	11, 17, 21	dedth2h 4547	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
23	22	imp 411	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ifcif 4487  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104   ℋchba 31280   ·_ℎ csm 31282   ·_ih csp 31283  0_ℎc0v 31285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-hv0cl 31364  ax-hfvmul 31366  ax-hfi 31440  ax-his1 31443  ax-his3 31445  ax-his4 31446

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157

This theorem is used by:  eighmre  32324