Theorem eigre 31816

Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigre	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
2		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
3	1, 2	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
4		neeq1 2994	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ)))
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
7	6, 1	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
8	1, 6	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
9	7, 8	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
10	9	bibi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
11	5, 10	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))))
12		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
13	12	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
14	13	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ)))
15		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
16	15	bibi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ)))
17	14, 16	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (𝐵 ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))))
18		ifhvhv0 31003	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
19		0cn 11227	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
20	19	elimel 4570	. . . 4 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
21	18, 20	eigrei 31815	. . 3 ⊢ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ·ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ≠ 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
22	11, 17, 21	dedth2h 4560	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
23	22	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ifcif 4500  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129   ℋchba 30900   ·_ℎ csm 30902   ·_ih csp 30903  0_ℎc0v 30905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-hv0cl 30984  ax-hfvmul 30986  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his3 31065  ax-his4 31066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120

This theorem is referenced by:  eighmre  31944