HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigre 31644
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when ๐‘‡ is a Hermitian operator) for an eigenvalue ๐ต to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigre (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))

Proof of Theorem eigre
StepHypRef Expression
1 fveq2 6897 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
2 oveq2 7428 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
31, 2eqeq12d 2744 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
4 neeq1 3000 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž))
53, 4anbi12d 631 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž)))
6 id 22 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))
76, 1oveq12d 7438 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
81, 6oveq12d 7438 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
97, 8eqeq12d 2744 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
109bibi1d 343 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„) โ†” ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)))
115, 10imbi12d 344 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))))
12 oveq1 7427 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
1312eqeq2d 2739 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
1413anbi1d 630 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž)))
15 eleq1 2817 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„))
1615bibi2d 342 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„) โ†” ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)))
1714, 16imbi12d 344 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„))))
18 ifhvhv0 30831 . . . 4 if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
19 0cn 11236 . . . . 5 0 โˆˆ โ„‚
2019elimel 4598 . . . 4 if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„‚
2118, 20eigrei 31643 . . 3 (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„))
2211, 17, 21dedth2h 4588 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)))
2322imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  ifcif 4529  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138   โ„‹chba 30728   ยทโ„Ž csm 30730   ยทih csp 30731  0โ„Žc0v 30733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-hv0cl 30812  ax-hfvmul 30814  ax-hfi 30888  ax-his1 30891  ax-his3 30893  ax-his4 30894
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080
This theorem is referenced by:  eighmre  31772
  Copyright terms: Public domain W3C validator