HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigre 30819
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when ๐‘‡ is a Hermitian operator) for an eigenvalue ๐ต to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigre (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))

Proof of Theorem eigre
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
2 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
31, 2eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
4 neeq1 3003 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž))
53, 4anbi12d 632 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž)))
6 id 22 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))
76, 1oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
81, 6oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
97, 8eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
109bibi1d 344 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„) โ†” ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)))
115, 10imbi12d 345 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))))
12 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
1312eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
1413anbi1d 631 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž)))
15 eleq1 2822 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„))
1615bibi2d 343 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ (((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„) โ†” ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)))
1714, 16imbi12d 345 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ต ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„))))
18 ifhvhv0 30006 . . . 4 if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
19 0cn 11152 . . . . 5 0 โˆˆ โ„‚
2019elimel 4556 . . . 4 if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„‚
2118, 20eigrei 30818 . . 3 (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” if(๐ต โˆˆ โ„‚, ๐ต, 0) โˆˆ โ„))
2211, 17, 21dedth2h 4546 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„)))
2322imp 408 1 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  ifcif 4487  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056   โ„‹chba 29903   ยทโ„Ž csm 29905   ยทih csp 29906  0โ„Žc0v 29908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-hv0cl 29987  ax-hfvmul 29989  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his3 30068  ax-his4 30069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-2 12221  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992
This theorem is referenced by:  eighmre  30947
  Copyright terms: Public domain W3C validator