Theorem hvaddcan 31098

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvaddcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7437	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))
2		oveq1 7437	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 +ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶))
3	1, 2	eqeq12d 2750	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶)))
4	3	bibi1d 343	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)))
5		oveq2 7438	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶)))
7		eqeq1 2738	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶))
8	6, 7	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶)))
9		oveq2 7438	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
10	9	eqeq2d 2745	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))))
11		eqeq2 2746	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
12	10, 11	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))))
13		ifhvhv0 31050	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
14		ifhvhv0 31050	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
15		ifhvhv0 31050	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
16	13, 14, 15	hvaddcani 31093	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))
17	4, 8, 12, 16	dedth3h 4590	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ifcif 4530  (class class class)co 7430   ℋchba 30947   +_ℎ cva 30948  0_ℎc0v 30952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492  df-hvsub 30999

This theorem is referenced by:  hvaddcan2  31099  hvsubcan  31102