HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcan 30012
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddcan ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvaddcan
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))
2 oveq1 7364 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶))
31, 2eqeq12d 2752 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶)))
43bibi1d 343 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)))
5 oveq2 7365 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65eqeq1d 2738 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶)))
7 eqeq1 2740 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = 𝐶))
86, 7bibi12d 345 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = 𝐶)))
9 oveq2 7365 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
109eqeq2d 2747 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))))
11 eqeq2 2748 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1210, 11bibi12d 345 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))))
13 ifhvhv0 29964 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
14 ifhvhv0 29964 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
15 ifhvhv0 29964 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
1613, 14, 15hvaddcani 30007 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))
174, 8, 12, 16dedth3h 4546 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4486  (class class class)co 7357  chba 29861   + cva 29862  0c0v 29866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-sub 11387  df-neg 11388  df-hvsub 29913
This theorem is referenced by:  hvaddcan2  30013  hvsubcan  30016
  Copyright terms: Public domain W3C validator