Theorem hvaddcan 30997

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvaddcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7410	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))
2		oveq1 7410	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 +ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶))
3	1, 2	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶)))
4	3	bibi1d 343	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)))
5		oveq2 7411	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶)))
7		eqeq1 2739	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶))
8	6, 7	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶)))
9		oveq2 7411	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
10	9	eqeq2d 2746	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))))
11		eqeq2 2747	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
12	10, 11	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))))
13		ifhvhv0 30949	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
14		ifhvhv0 30949	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
15		ifhvhv0 30949	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
16	13, 14, 15	hvaddcani 30992	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))
17	4, 8, 12, 16	dedth3h 4561	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500  (class class class)co 7403   ℋchba 30846   +_ℎ cva 30847  0_ℎc0v 30851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-hvcom 30928  ax-hvass 30929  ax-hv0cl 30930  ax-hvaddid 30931  ax-hfvmul 30932  ax-hvmulid 30933  ax-hvdistr2 30936  ax-hvmul0 30937

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11466  df-neg 11467  df-hvsub 30898

This theorem is referenced by:  hvaddcan2  30998  hvsubcan  31001