HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcan 30288
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddcan ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvaddcan
StepHypRef Expression
1 oveq1 7403 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))
2 oveq1 7403 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶))
31, 2eqeq12d 2749 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶)))
43bibi1d 344 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)))
5 oveq2 7404 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65eqeq1d 2735 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶)))
7 eqeq1 2737 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = 𝐶))
86, 7bibi12d 346 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = 𝐶)))
9 oveq2 7404 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
109eqeq2d 2744 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))))
11 eqeq2 2745 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1210, 11bibi12d 346 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))))
13 ifhvhv0 30240 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
14 ifhvhv0 30240 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
15 ifhvhv0 30240 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
1613, 14, 15hvaddcani 30283 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))
174, 8, 12, 16dedth3h 4584 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4524  (class class class)co 7396  chba 30137   + cva 30138  0c0v 30142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-hvcom 30219  ax-hvass 30220  ax-hv0cl 30221  ax-hvaddid 30222  ax-hfvmul 30223  ax-hvmulid 30224  ax-hvdistr2 30227  ax-hvmul0 30228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-ltxr 11240  df-sub 11433  df-neg 11434  df-hvsub 30189
This theorem is referenced by:  hvaddcan2  30289  hvsubcan  30292
  Copyright terms: Public domain W3C validator