Theorem hvaddcan 31551

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvaddcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7420	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))
2		oveq1 7420	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 +ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶))
3	1, 2	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶)))
4	3	bibi1d 346	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)))
5		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶)))
7		eqeq1 2764	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶))
8	6, 7	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶)))
9		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
10	9	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))))
11		eqeq2 2772	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
12	10, 11	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐶) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = 𝐶) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))))
13		ifhvhv0 31503	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
14		ifhvhv0 31503	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
15		ifhvhv0 31503	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
16	13, 14, 15	hvaddcani 31546	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))
17	4, 8, 12, 16	dedth3h 4543	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  (class class class)co 7413   ℋchba 31400   +_ℎ cva 31401  0_ℎc0v 31405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-hvcom 31482  ax-hvass 31483  ax-hv0cl 31484  ax-hvaddid 31485  ax-hfvmul 31486  ax-hvmulid 31487  ax-hvdistr2 31490  ax-hvmul0 31491

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-neg 11468  df-hvsub 31452

This theorem is used by:  hvaddcan2  31552  hvsubcan  31555