Theorem hvsubcli 31486

Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvaddcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvaddcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubcli	⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvsubcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvaddcl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hvsubcl 31482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416   ℋchba 31384   −_ℎ cmv 31390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-hfvadd 31465  ax-hfvmul 31470

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-sub 11468  df-neg 11469  df-hvsub 31436

This theorem is used by:  hisubcomi  31569  normlem5  31579  bcseqi  31585  normsub0i  31600  normsubi  31606  norm3difi  31612  norm3adifii  31613  norm3lem  31614  normpari  31619  normpar2i  31621  polidi  31623  h1de2i  32018  pjsslem  32144  pjss2i  32145  pjssmii  32146  pjcji  32149  lnophmlem2  32482