Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normsub 28905
 Description: Swapping order of subtraction doesn't change the norm of a vector. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normsub ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(𝐵 𝐴)))

Proof of Theorem normsub
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7153 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
2 oveq2 7138 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐵 𝐴) = (𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
32fveq2d 6647 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐵 𝐴)) = (norm‘(𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
41, 3eqeq12d 2837 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(𝐵 𝐴)) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
5 oveq2 7138 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65fveq2d 6647 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
7 fvoveq1 7153 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = (norm‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
86, 7eqeq12d 2837 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (norm‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
9 ifhvhv0 28784 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
10 ifhvhv0 28784 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
119, 10normsubi 28903 . 2 (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (norm‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
124, 8, 11dedth2h 4497 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(𝐵 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ifcif 4440  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ℋchba 28681  normℎcno 28685  0ℎc0v 28686   −ℎ cmv 28687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-hfvadd 28762  ax-hvcom 28763  ax-hv0cl 28765  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvmulass 28769  ax-hvdistr1 28770  ax-hvmul0 28772  ax-hfi 28841  ax-his1 28844  ax-his3 28846  ax-his4 28847 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-hnorm 28730  df-hvsub 28733 This theorem is referenced by:  normneg  28906  norm3dif2  28913  hhcno  29666  hhcnf  29667
 Copyright terms: Public domain W3C validator