Theorem normsub 31162

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the norm of a vector. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)))

Proof of Theorem normsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7454	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
2		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
3	2	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
4	1, 3	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))))
5		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		fvoveq1 7454	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) = (normℎ‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
8	6, 7	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (normℎ‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))))
9		ifhvhv0 31041	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
10		ifhvhv0 31041	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
11	9, 10	normsubi 31160	. 2 ⊢ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (normℎ‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
12	4, 8, 11	dedth2h 4585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ℋchba 30938  norm_ℎcno 30942  0_ℎc0v 30943   −_ℎ cmv 30944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hv0cl 31022  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-hnorm 30987  df-hvsub 30990

This theorem is referenced by:  normneg  31163  norm3dif2  31170  hhcno  31923  hhcnf  31924