Theorem spansncv 31747

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansncv	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))))

Proof of Theorem spansncv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psseq1 4044	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵))
2		oveq1 7377	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})))
3	2	sseq2d 3968	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ 𝐵 ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))))
4	1, 3	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})))))
5	2	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ 𝐵 = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))))
6	4, 5	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})))))
7		psseq2 4045	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
8		sseq1 3961	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (𝐵 ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))))
9	7, 8	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})))))
10		eqeq1 2741	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (𝐵 = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))))
11	9, 10	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})))))
12		sneq 4592	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → {𝐶} = {if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)})
13	12	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (span‘{𝐶}) = (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)}))
14	13	oveq2d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)})))
15	14	sseq2d 3968	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)}))))
16	15	anbi2d 631	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)})))))
17	14	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)}))))
18	16, 17	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐶}))) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)}))) → if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)})))))
19		ifchhv 31338	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
20		ifchhv 31338	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Cℋ
21		ifhvhv0 31116	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
22	19, 20, 21	spansncvi 31746	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)}))) → if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)})))
23	6, 11, 18, 22	dedth3h 4542	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  ifcif 4481  {csn 4582  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ℋchba 31013  0_ℎc0v 31018   C_ℋ cch 31023  spancspn 31026   ∨_ℋ chj 31027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cc 10359  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120  ax-hilex 31093  ax-hfvadd 31094  ax-hvcom 31095  ax-hvass 31096  ax-hv0cl 31097  ax-hvaddid 31098  ax-hfvmul 31099  ax-hvmulid 31100  ax-hvmulass 31101  ax-hvdistr1 31102  ax-hvdistr2 31103  ax-hvmul0 31104  ax-hfi 31173  ax-his1 31176  ax-his2 31177  ax-his3 31178  ax-his4 31179  ax-hcompl 31296

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-acn 9868  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-lm 23190  df-haus 23276  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cfil 25228  df-cau 25229  df-cmet 25230  df-grpo 30587  df-gid 30588  df-ginv 30589  df-gdiv 30590  df-ablo 30639  df-vc 30653  df-nv 30686  df-va 30689  df-ba 30690  df-sm 30691  df-0v 30692  df-vs 30693  df-nmcv 30694  df-ims 30695  df-dip 30795  df-ssp 30816  df-ph 30907  df-cbn 30957  df-hnorm 31062  df-hba 31063  df-hvsub 31065  df-hlim 31066  df-hcau 31067  df-sh 31301  df-ch 31315  df-oc 31346  df-ch0 31347  df-shs 31402  df-span 31403  df-chj 31404  df-pjh 31489

This theorem is referenced by:  spansncv2  32387