Theorem norm-ii 31166

Description: Triangle inequality for norms. Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm-ii	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) + (normℎ‘𝐵)))

Proof of Theorem norm-ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7453	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)))
2		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
3	2	oveq1d 7445	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐴) + (normℎ‘𝐵)) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘𝐵)))
4	1, 3	breq12d 5160	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) + (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘𝐵))))
5		oveq2 7438	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	7	oveq2d 7446	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘𝐵)) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9	6, 8	breq12d 5160	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) ≤ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))))
10		ifhvhv0 31050	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
11		ifhvhv0 31050	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
12	10, 11	norm-ii-i 31165	. 2 ⊢ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) ≤ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
13	4, 9, 12	dedth2h 4589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) + (normℎ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ifcif 4530   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   + caddc 11155   ≤ cle 11293   ℋchba 30947   +_ℎ cva 30948  norm_ℎcno 30951  0_ℎc0v 30952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-hfvadd 31028  ax-hv0cl 31031  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulass 31035  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-hnorm 30996  df-hvsub 30999

This theorem is referenced by:  hhnv  31193  hhssnv  31292  nmoptrii  32122