Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm-ii 28900
 Description: Triangle inequality for norms. Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm-ii ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) + (norm𝐵)))

Proof of Theorem norm-ii
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7156 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
2 fveq2 6646 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm𝐴) = (norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
32oveq1d 7148 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm𝐴) + (norm𝐵)) = ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (norm𝐵)))
41, 3breq12d 5055 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) + (norm𝐵)) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ≤ ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (norm𝐵))))
5 oveq2 7141 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65fveq2d 6650 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
7 fveq2 6646 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm𝐵) = (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
87oveq2d 7149 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (norm𝐵)) = ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
96, 8breq12d 5055 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ≤ ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (norm𝐵)) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
10 ifhvhv0 28784 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
11 ifhvhv0 28784 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
1210, 11norm-ii-i 28899 . 2 (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
134, 9, 12dedth2h 4500 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) + (norm𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ifcif 4443   class class class wbr 5042  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   + caddc 10518   ≤ cle 10654   ℋchba 28681   +ℎ cva 28682  normℎcno 28685  0ℎc0v 28686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-hfvadd 28762  ax-hv0cl 28765  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulass 28769  ax-hvmul0 28772  ax-hfi 28841  ax-his1 28844  ax-his2 28845  ax-his3 28846  ax-his4 28847 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-hnorm 28730  df-hvsub 28733 This theorem is referenced by:  hhnv  28927  hhssnv  29026  nmoptrii  29856
 Copyright terms: Public domain W3C validator