Theorem norm-ii 31063

Description: Triangle inequality for norms. Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm-ii	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) + (normℎ‘𝐵)))

Proof of Theorem norm-ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7446	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)))
2		fveq2 6900	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
3	2	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐴) + (normℎ‘𝐵)) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘𝐵)))
4	1, 3	breq12d 5165	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) + (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘𝐵))))
5		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	fveq2d 6904	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		fveq2 6900	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	7	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘𝐵)) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9	6, 8	breq12d 5165	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) ≤ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))))
10		ifhvhv0 30947	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
11		ifhvhv0 30947	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
12	10, 11	norm-ii-i 31062	. 2 ⊢ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) ≤ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) + (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
13	4, 9, 12	dedth2h 4591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) + (normℎ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4532   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423   + caddc 11157   ≤ cle 11295   ℋchba 30844   +_ℎ cva 30845  norm_ℎcno 30848  0_ℎc0v 30849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-hfvadd 30925  ax-hv0cl 30928  ax-hfvmul 30930  ax-hvmulass 30932  ax-hvmul0 30935  ax-hfi 31004  ax-his1 31007  ax-his2 31008  ax-his3 31009  ax-his4 31010

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9481  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-hnorm 30893  df-hvsub 30896

This theorem is referenced by:  hhnv  31090  hhssnv  31189  nmoptrii  32019