Theorem spansnj 31794

Description: The subspace sum of a closed subspace and a one-dimensional subspace equals their join. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansnj	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})))

Proof of Theorem spansnj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7397	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ (span‘{𝐵})))
2		oveq1 7397	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐵})))
3	1, 2	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ (span‘{𝐵})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐵}))))
4		sneq 4591	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → {𝐵} = {if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)})
5	4	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (span‘{𝐵}) = (span‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)}))
6	5	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ (span‘{𝐵})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ (span‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)})))
7	5	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐵})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)})))
8	6, 7	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ (span‘{𝐵})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{𝐵})) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ (span‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)}))))
9		ifchhv 31391	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
10		ifhvhv0 31169	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
11	9, 10	spansnji 31793	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ (span‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)})) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (span‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)}))
12	3, 8, 11	dedth2h 4539	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ifcif 4479  {csn 4581  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ℋchba 31066  0_ℎc0v 31071   C_ℋ cch 31076   +_ℋ cph 31078  spancspn 31079   ∨_ℋ chj 31080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-inf2 9591  ax-cc 10387  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148  ax-hilex 31146  ax-hfvadd 31147  ax-hvcom 31148  ax-hvass 31149  ax-hv0cl 31150  ax-hvaddid 31151  ax-hfvmul 31152  ax-hvmulid 31153  ax-hvmulass 31154  ax-hvdistr1 31155  ax-hvdistr2 31156  ax-hvmul0 31157  ax-hfi 31226  ax-his1 31229  ax-his2 31230  ax-his3 31231  ax-his4 31232  ax-hcompl 31349

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9303  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9453  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-z 12564  df-dec 12684  df-uz 12835  df-q 12945  df-rp 12989  df-xneg 13109  df-xadd 13110  df-xmul 13111  df-ioo 13348  df-ico 13350  df-icc 13351  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-fl 13797  df-seq 14010  df-exp 14070  df-hash 14339  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-clim 15496  df-rlim 15497  df-sum 15695  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-mulr 17281  df-starv 17282  df-sca 17283  df-vsca 17284  df-ip 17285  df-tset 17286  df-ple 17287  df-ds 17289  df-unif 17290  df-hom 17291  df-cco 17292  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17513  df-qtop 17518  df-imas 17519  df-xps 17521  df-mre 17595  df-mrc 17596  df-acs 17598  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-submnd 18799  df-mulg 19091  df-cntz 19338  df-cmn 19803  df-psmet 21394  df-xmet 21395  df-met 21396  df-bl 21397  df-mopn 21398  df-fbas 21399  df-fg 21400  df-cnfld 21403  df-top 22932  df-topon 22949  df-topsp 22971  df-bases 22984  df-cld 23057  df-ntr 23058  df-cls 23059  df-nei 23136  df-cn 23265  df-cnp 23266  df-lm 23267  df-haus 23353  df-tx 23600  df-hmeo 23793  df-fil 23884  df-fm 23976  df-flim 23977  df-flf 23978  df-xms 24358  df-ms 24359  df-tms 24360  df-cfil 25295  df-cau 25296  df-cmet 25297  df-grpo 30640  df-gid 30641  df-ginv 30642  df-gdiv 30643  df-ablo 30692  df-vc 30706  df-nv 30739  df-va 30742  df-ba 30743  df-sm 30744  df-0v 30745  df-vs 30746  df-nmcv 30747  df-ims 30748  df-dip 30848  df-ssp 30869  df-ph 30960  df-cbn 31010  df-hnorm 31115  df-hba 31116  df-hvsub 31118  df-hlim 31119  df-hcau 31120  df-sh 31354  df-ch 31368  df-oc 31399  df-ch0 31400  df-shs 31455  df-span 31456  df-chj 31457  df-pjh 31542

This theorem is referenced by:  spansnscl  31795  superpos  32501  chjatom  32504  sumdmdlem2  32566