Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-iii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm-iii 28911
 Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm-iii ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)))

Proof of Theorem norm-iii
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7173 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)))
2 fveq2 6665 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (abs‘𝐴) = (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
32oveq1d 7165 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵)))
41, 3eqeq12d 2837 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵))))
5 oveq2 7158 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65fveq2d 6669 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
7 fveq2 6665 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm𝐵) = (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
87oveq2d 7166 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
96, 8eqeq12d 2837 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵)) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
10 0cn 10627 . . . 4 0 ∈ ℂ
1110elimel 4534 . . 3 if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
12 ifhvhv0 28793 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
1311, 12norm-iii-i 28910 . 2 (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
144, 9, 13dedth2h 4524 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ifcif 4467  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536  abscabs 14587   ℋchba 28690   ·ℎ csm 28692  normℎcno 28694  0ℎc0v 28695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-hv0cl 28774  ax-hfvmul 28776  ax-hvmul0 28781  ax-hfi 28850  ax-his1 28853  ax-his3 28855  ax-his4 28856 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-hnorm 28739 This theorem is referenced by:  hhnv  28936  norm1  29020  hhssnv  29035  nmbdoplbi  29795  nmcexi  29797  nmcopexi  29798  nmcoplbi  29799  nmophmi  29802  nmopcoi  29866  strlem1  30021
 Copyright terms: Public domain W3C validator