Theorem norm-iii 28569

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm-iii	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))

Proof of Theorem norm-iii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 6945	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)))
2		fveq2 6446	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (abs‘𝐴) = (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
3	2	oveq1d 6937	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2793	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵))))
5		oveq2 6930	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	fveq2d 6450	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		fveq2 6446	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	7	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9	6, 8	eqeq12d 2793	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))))
10		0cn 10368	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
11	10	elimel 4374	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
12		ifhvhv0 28451	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
13	11, 12	norm-iii-i 28568	. 2 ⊢ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
14	4, 9, 13	dedth2h 4364	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ifcif 4307  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272   · cmul 10277  abscabs 14381   ℋchba 28348   ·_ℎ csm 28350  norm_ℎcno 28352  0_ℎc0v 28353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-hv0cl 28432  ax-hfvmul 28434  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his3 28513  ax-his4 28514

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-hnorm 28397

This theorem is referenced by:  hhnv  28594  norm1  28678  hhssnv  28693  nmbdoplbi  29455  nmcexi  29457  nmcopexi  29458  nmcoplbi  29459  nmophmi  29462  nmopcoi  29526  strlem1  29681