Theorem norm-iii 31775

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm-iii	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))

Proof of Theorem norm-iii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7469	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)))
2		fveq2 6911	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (abs‘𝐴) = (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
3	2	oveq1d 7461	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵))))
5		oveq2 7454	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		fveq2 6911	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	7	oveq2d 7462	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9	6, 8	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))))
10		0cn 11328	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
11	10	elimel 4555	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
12		ifhvhv0 31657	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
13	11, 12	norm-iii-i 31774	. 2 ⊢ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
14	4, 9, 13	dedth2h 4545	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230   · cmul 11235  abscabs 15433   ℋchba 31554   ·_ℎ csm 31556  norm_ℎcno 31558  0_ℎc0v 31559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-hv0cl 31638  ax-hfvmul 31640  ax-hvmul0 31645  ax-hfi 31714  ax-his1 31717  ax-his3 31719  ax-his4 31720

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-hnorm 31603

This theorem is used by:  hhnv  31800  norm1  31884  hhssnv  31899  nmbdoplbi  32659  nmcexi  32661  nmcopexi  32662  nmcoplbi  32663  nmophmi  32666  nmopcoi  32730  strlem1  32885