Theorem norm-iii 29502

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm-iii	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))

Proof of Theorem norm-iii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7298	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)))
2		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (abs‘𝐴) = (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
3	2	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵))))
5		oveq2 7283	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	7	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9	6, 8	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))))
10		0cn 10967	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
11	10	elimel 4528	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
12		ifhvhv0 29384	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
13	11, 12	norm-iii-i 29501	. 2 ⊢ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
14	4, 9, 13	dedth2h 4518	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876  abscabs 14945   ℋchba 29281   ·_ℎ csm 29283  norm_ℎcno 29285  0_ℎc0v 29286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-hv0cl 29365  ax-hfvmul 29367  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-hnorm 29330

This theorem is referenced by:  hhnv  29527  norm1  29611  hhssnv  29626  nmbdoplbi  30386  nmcexi  30388  nmcopexi  30389  nmcoplbi  30390  nmophmi  30393  nmopcoi  30457  strlem1  30612