Theorem norm-iii 31118

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm-iii	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))

Proof of Theorem norm-iii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7369	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)))
2		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (abs‘𝐴) = (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
3	2	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵))))
5		oveq2 7354	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	7	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9	6, 8	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘𝐵)) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))))
10		0cn 11104	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
11	10	elimel 4545	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
12		ifhvhv0 31000	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
13	11, 12	norm-iii-i 31117	. 2 ⊢ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
14	4, 9, 13	dedth2h 4535	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   · cmul 11011  abscabs 15141   ℋchba 30897   ·_ℎ csm 30899  norm_ℎcno 30901  0_ℎc0v 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-hv0cl 30981  ax-hfvmul 30983  ax-hvmul0 30988  ax-hfi 31057  ax-his1 31060  ax-his3 31062  ax-his4 31063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-hnorm 30946

This theorem is referenced by:  hhnv  31143  norm1  31227  hhssnv  31242  nmbdoplbi  32002  nmcexi  32004  nmcopexi  32005  nmcoplbi  32006  nmophmi  32009  nmopcoi  32073  strlem1  32228