Theorem pjcjt2 31750

Description: The projection on a subspace join is the sum of the projections. (Contributed by NM, 1-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjcjt2	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

Proof of Theorem pjcjt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3960	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺)))
2		fvoveq1 7383	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)))
3	2	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴))
4		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘𝐻) = (projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)))
5	4	fveq1d 6837	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴))
6	5	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
7	3, 6	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))
8	1, 7	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))))
9		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (⊥‘𝐺) = (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
10	9	sseq2d 3967	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
11		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺) = (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
12	11	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
13	12	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴))
14		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
15	14	fveq1d 6837	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))
16	15	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))
17	13, 16	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))))
18	10, 17	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))))
19		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
20		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
21		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
22	20, 21	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
23	19, 22	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))))
24	23	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))))
25		ifchhv 31302	. . 3 ⊢ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∈ Cℋ
26		ifhvhv0 31080	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
27		ifchhv 31302	. . 3 ⊢ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) ∈ Cℋ
28	25, 26, 27	pjcji 31742	. 2 ⊢ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
29	8, 18, 24, 28	dedth3h 4541	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ifcif 4480  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ℋchba 30977   +_ℎ cva 30978  0_ℎc0v 30982   C_ℋ cch 30987  ⊥cort 30988   ∨_ℋ chj 30991  proj_ℎcpjh 30995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110  ax-hilex 31057  ax-hfvadd 31058  ax-hvcom 31059  ax-hvass 31060  ax-hv0cl 31061  ax-hvaddid 31062  ax-hfvmul 31063  ax-hvmulid 31064  ax-hvmulass 31065  ax-hvdistr1 31066  ax-hvdistr2 31067  ax-hvmul0 31068  ax-hfi 31137  ax-his1 31140  ax-his2 31141  ax-his3 31142  ax-his4 31143  ax-hcompl 31260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-lm 23177  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cfil 25215  df-cau 25216  df-cmet 25217  df-grpo 30551  df-gid 30552  df-ginv 30553  df-gdiv 30554  df-ablo 30603  df-vc 30617  df-nv 30650  df-va 30653  df-ba 30654  df-sm 30655  df-0v 30656  df-vs 30657  df-nmcv 30658  df-ims 30659  df-dip 30759  df-ssp 30780  df-ph 30871  df-cbn 30921  df-hnorm 31026  df-hba 31027  df-hvsub 31029  df-hlim 31030  df-hcau 31031  df-sh 31265  df-ch 31279  df-oc 31310  df-ch0 31311  df-shs 31366  df-chj 31368  df-pjh 31453

This theorem is referenced by:  pjsumi  31768  pjscji  32228  strlem3a  32310  hstrlem3a  32318