Theorem pjcjt2 32228

Description: The projection on a subspace join is the sum of the projections. (Contributed by NM, 1-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjcjt2	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

Proof of Theorem pjcjt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3955	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺)))
2		fvoveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)))
3	2	fveq1d 6875	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴))
4		fveq2 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘𝐻) = (projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)))
5	4	fveq1d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴))
6	5	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
7	3, 6	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))
8	1, 7	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))))
9		fveq2 6873	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (⊥‘𝐺) = (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
10	9	sseq2d 3962	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
11		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺) = (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
12	11	fveq2d 6877	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
13	12	fveq1d 6875	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴))
14		fveq2 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
15	14	fveq1d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))
16	15	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))
17	13, 16	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))))
18	10, 17	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))))
19		fveq2 6873	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
20		fveq2 6873	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
21		fveq2 6873	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
22	20, 21	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
23	19, 22	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))))
24	23	imbi2d 343	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))))
25		ifchhv 31780	. . 3 ⊢ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∈ Cℋ
26		ifhvhv0 31558	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
27		ifchhv 31780	. . 3 ⊢ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) ∈ Cℋ
28	25, 26, 27	pjcji 32220	. 2 ⊢ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
29	8, 18, 24, 28	dedth3h 4542	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ifcif 4481  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ℋchba 31455   +_ℎ cva 31456  0_ℎc0v 31460   C_ℋ cch 31465  ⊥cort 31466   ∨_ℋ chj 31469  proj_ℎcpjh 31473

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cc 10485  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251  ax-mulf 11252  ax-hilex 31535  ax-hfvadd 31536  ax-hvcom 31537  ax-hvass 31538  ax-hv0cl 31539  ax-hvaddid 31540  ax-hfvmul 31541  ax-hvmulid 31542  ax-hvmulass 31543  ax-hvdistr1 31544  ax-hvdistr2 31545  ax-hvmul0 31546  ax-hfi 31615  ax-his1 31618  ax-his2 31619  ax-his3 31620  ax-his4 31621  ax-hcompl 31738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9992  df-acn 9995  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-ioo 13450  df-ico 13452  df-icc 13453  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-rest 17555  df-topn 17556  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-topgen 17576  df-pt 17577  df-prds 17580  df-xrs 17636  df-qtop 17641  df-imas 17642  df-xps 17644  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-mulg 19240  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-fbas 21637  df-fg 21638  df-cnfld 21641  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301  df-nei 23378  df-cn 23507  df-cnp 23508  df-lm 23509  df-haus 23595  df-tx 23843  df-hmeo 24036  df-fil 24127  df-fm 24219  df-flim 24220  df-flf 24221  df-xms 24601  df-ms 24602  df-tms 24603  df-cfil 25538  df-cau 25539  df-cmet 25540  df-grpo 31029  df-gid 31030  df-ginv 31031  df-gdiv 31032  df-ablo 31081  df-vc 31095  df-nv 31128  df-va 31131  df-ba 31132  df-sm 31133  df-0v 31134  df-vs 31135  df-nmcv 31136  df-ims 31137  df-dip 31237  df-ssp 31258  df-ph 31349  df-cbn 31399  df-hnorm 31504  df-hba 31505  df-hvsub 31507  df-hlim 31508  df-hcau 31509  df-sh 31743  df-ch 31757  df-oc 31788  df-ch0 31789  df-shs 31844  df-chj 31846  df-pjh 31931

This theorem is used by:  pjsumi  32246  pjscji  32706  strlem3a  32788  hstrlem3a  32796