Theorem pjcjt2 32074

Description: The projection on a subspace join is the sum of the projections. (Contributed by NM, 1-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjcjt2	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

Proof of Theorem pjcjt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3965	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺)))
2		fvoveq1 7446	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)))
3	2	fveq1d 6890	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴))
4		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘𝐻) = (projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)))
5	4	fveq1d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴))
6	5	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
7	3, 6	eqeq12d 2782	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))
8	1, 7	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))))
9		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (⊥‘𝐺) = (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
10	9	sseq2d 3972	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
11		oveq2 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺) = (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
12	11	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
13	12	fveq1d 6890	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴))
14		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
15	14	fveq1d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))
16	15	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))
17	13, 16	eqeq12d 2782	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))))
18	10, 17	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))))
19		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
20		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
21		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
22	20, 21	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
23	19, 22	eqeq12d 2782	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))))
24	23	imbi2d 343	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))))
25		ifchhv 31626	. . 3 ⊢ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∈ Cℋ
26		ifhvhv0 31404	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
27		ifchhv 31626	. . 3 ⊢ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) ∈ Cℋ
28	25, 26, 27	pjcji 32066	. 2 ⊢ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
29	8, 18, 24, 28	dedth3h 4553	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ifcif 4492  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ℋchba 31301   +_ℎ cva 31302  0_ℎc0v 31306   C_ℋ cch 31311  ⊥cort 31312   ∨_ℋ chj 31315  proj_ℎcpjh 31319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198  ax-hilex 31381  ax-hfvadd 31382  ax-hvcom 31383  ax-hvass 31384  ax-hv0cl 31385  ax-hvaddid 31386  ax-hfvmul 31387  ax-hvmulid 31388  ax-hvmulass 31389  ax-hvdistr1 31390  ax-hvdistr2 31391  ax-hvmul0 31392  ax-hfi 31461  ax-his1 31464  ax-his2 31465  ax-his3 31466  ax-his4 31467  ax-hcompl 31584

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-submnd 18867  df-mulg 19159  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-lm 23416  df-haus 23502  df-tx 23749  df-hmeo 23942  df-fil 24033  df-fm 24125  df-flim 24126  df-flf 24127  df-xms 24507  df-ms 24508  df-tms 24509  df-cfil 25444  df-cau 25445  df-cmet 25446  df-grpo 30875  df-gid 30876  df-ginv 30877  df-gdiv 30878  df-ablo 30927  df-vc 30941  df-nv 30974  df-va 30977  df-ba 30978  df-sm 30979  df-0v 30980  df-vs 30981  df-nmcv 30982  df-ims 30983  df-dip 31083  df-ssp 31104  df-ph 31195  df-cbn 31245  df-hnorm 31350  df-hba 31351  df-hvsub 31353  df-hlim 31354  df-hcau 31355  df-sh 31589  df-ch 31603  df-oc 31634  df-ch0 31635  df-shs 31690  df-chj 31692  df-pjh 31777

This theorem is used by:  pjsumi  32092  pjscji  32552  strlem3a  32634  hstrlem3a  32642