Theorem pjcjt2 31212

Description: The projection on a subspace join is the sum of the projections. (Contributed by NM, 1-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjcjt2	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

Proof of Theorem pjcjt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 4006	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺)))
2		fvoveq1 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)))
3	2	fveq1d 6892	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴))
4		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘𝐻) = (projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)))
5	4	fveq1d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴))
6	5	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
7	3, 6	eqeq12d 2746	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))
8	1, 7	imbi12d 343	. 2 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))))
9		fveq2 6890	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (⊥‘𝐺) = (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
10	9	sseq2d 4013	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
11		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺) = (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
12	11	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
13	12	fveq1d 6892	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴))
14		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
15	14	fveq1d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))
16	15	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))
17	13, 16	eqeq12d 2746	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))))
18	10, 17	imbi12d 343	. 2 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))))
19		fveq2 6890	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
20		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
21		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
22	20, 21	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
23	19, 22	eqeq12d 2746	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))))
24	23	imbi2d 339	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))))
25		ifchhv 30764	. . 3 ⊢ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∈ Cℋ
26		ifhvhv0 30542	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
27		ifchhv 30764	. . 3 ⊢ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) ∈ Cℋ
28	25, 26, 27	pjcji 31204	. 2 ⊢ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
29	8, 18, 24, 28	dedth3h 4587	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  ifcif 4527  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ℋchba 30439   +_ℎ cva 30440  0_ℎc0v 30444   C_ℋ cch 30449  ⊥cort 30450   ∨_ℋ chj 30453  proj_ℎcpjh 30457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605  ax-hcompl 30722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ssp 30242  df-ph 30333  df-cbn 30383  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-hcau 30493  df-sh 30727  df-ch 30741  df-oc 30772  df-ch0 30773  df-shs 30828  df-chj 30830  df-pjh 30915

This theorem is referenced by:  pjsumi  31230  pjscji  31690  strlem3a  31772  hstrlem3a  31780