Theorem pjcjt2 32181

Description: The projection on a subspace join is the sum of the projections. (Contributed by NM, 1-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjcjt2	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

Proof of Theorem pjcjt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3959	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺)))
2		fvoveq1 7440	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)))
3	2	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴))
4		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (projℎ‘𝐻) = (projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)))
5	4	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴))
6	5	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
7	3, 6	eqeq12d 2778	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))
8	1, 7	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))))
9		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (⊥‘𝐺) = (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
10	9	sseq2d 3966	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
11		oveq2 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺) = (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
12	11	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))))
13	12	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴))
14		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))
15	14	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))
16	15	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))
17	13, 16	eqeq12d 2778	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))))
18	10, 17	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))))
19		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
20		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
21		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴) = ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
22	20, 21	oveq12d 7435	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
23	19, 22	eqeq12d 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))))
24	23	imbi2d 343	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘𝐴))) ↔ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))))
25		ifchhv 31733	. . 3 ⊢ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∈ Cℋ
26		ifhvhv0 31511	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
27		ifchhv 31733	. . 3 ⊢ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ) ∈ Cℋ
28	25, 26, 27	pjcji 32173	. 2 ⊢ (if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)) → ((projℎ‘(if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∨ℋ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (((projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) +ℎ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
29	8, 18, 24, 28	dedth3h 4546	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ifcif 4485  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ℋchba 31408   +_ℎ cva 31409  0_ℎc0v 31413   C_ℋ cch 31418  ⊥cort 31419   ∨_ℋ chj 31422  proj_ℎcpjh 31426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cc 10441  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208  ax-hilex 31488  ax-hfvadd 31489  ax-hvcom 31490  ax-hvass 31491  ax-hv0cl 31492  ax-hvaddid 31493  ax-hfvmul 31494  ax-hvmulid 31495  ax-hvmulass 31496  ax-hvdistr1 31497  ax-hvdistr2 31498  ax-hvmul0 31499  ax-hfi 31568  ax-his1 31571  ax-his2 31572  ax-his3 31573  ax-his4 31574  ax-hcompl 31691

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-lm 23460  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cfil 25489  df-cau 25490  df-cmet 25491  df-grpo 30982  df-gid 30983  df-ginv 30984  df-gdiv 30985  df-ablo 31034  df-vc 31048  df-nv 31081  df-va 31084  df-ba 31085  df-sm 31086  df-0v 31087  df-vs 31088  df-nmcv 31089  df-ims 31090  df-dip 31190  df-ssp 31211  df-ph 31302  df-cbn 31352  df-hnorm 31457  df-hba 31458  df-hvsub 31460  df-hlim 31461  df-hcau 31462  df-sh 31696  df-ch 31710  df-oc 31741  df-ch0 31742  df-shs 31797  df-chj 31799  df-pjh 31884

This theorem is used by:  pjsumi  32199  pjscji  32659  strlem3a  32741  hstrlem3a  32749