lnopeq0lem2 - Hilbert Space Explorer

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Theorem lnopeq0lem2 32608

Description: Lemma for lnopeq0i 32609. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

**Assertion**
Ref	Expression
lnopeq0lem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

**Proof of Theorem lnopeq0lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
2	1	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵))
3		fvoveq1 7443	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
4		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))
5	3, 4	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
6		fvoveq1 7443	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
7		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
8	6, 7	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
9	5, 8	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))))
10		fvoveq1 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
11		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
12	10, 11	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
13		fvoveq1 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
14		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
15	13, 14	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
16	12, 15	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
17	16	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))
18	9, 17	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
19	18	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))
20	2, 19	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4)))
21		oveq2 7428	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
22		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
23	22	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
24	23, 22	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
25		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
26	25	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
27	26, 25	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
28	24, 27	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
29		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
30	29	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
31	30	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
32	31, 30	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
33	29	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
34	33	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
35	34, 33	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
36	32, 35	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))
37	36	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))))
38	28, 37	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))))
39	38	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4))
40	21, 39	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)))
41		lnopeq0.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
42		ifhvhv0 31624	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
43		ifhvhv0 31624	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
44	41, 42, 43	lnopeq0lem1 32607	. 2 ⊢ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)
45	20, 40, 44	dedth2h 4541	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ifcif 4481 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ici 11202 + caddc 11203 · cmul 11205 − cmin 11541 / cdiv 11973 4c4 12399 ℋchba 31521 +_ℎ cva 31522 ·_ℎ csm 31523 ·_ih csp 31524 0_ℎc0v 31526 −_ℎ cmv 31527 LinOpclo 31549

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7751 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-hilex 31601 ax-hfvadd 31602 ax-hvass 31604 ax-hv0cl 31605 ax-hvaddid 31606 ax-hfvmul 31607 ax-hvmulid 31608 ax-hvdistr2 31611 ax-hvmul0 31612 ax-hfi 31681 ax-his1 31684 ax-his2 31685 ax-his3 31686

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4584 df-pr 4586 df-op 4590 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-er 8717 df-map 8849 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-4 12407 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-hvsub 31573 df-lnop 32443

This theorem is used by: lnopeq0i 32609

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