lnopeq0lem2 - Hilbert Space Explorer

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Theorem lnopeq0lem2 32367

Description: Lemma for lnopeq0i 32368. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

**Assertion**
Ref	Expression
lnopeq0lem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

**Proof of Theorem lnopeq0lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
2	1	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵))
3		fvoveq1 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
4		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))
5	3, 4	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
6		fvoveq1 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
7		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
8	6, 7	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
9	5, 8	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))))
10		fvoveq1 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
11		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
12	10, 11	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
13		fvoveq1 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
14		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
15	13, 14	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
16	12, 15	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
17	16	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))
18	9, 17	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
19	18	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))
20	2, 19	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4)))
21		oveq2 7418	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
22		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
23	22	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
24	23, 22	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
25		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
26	25	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
27	26, 25	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
28	24, 27	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
29		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
30	29	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
31	30	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
32	31, 30	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
33	29	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
34	33	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
35	34, 33	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
36	32, 35	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))
37	36	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))))
38	28, 37	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))))
39	38	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4))
40	21, 39	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)))
41		lnopeq0.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
42		ifhvhv0 31383	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
43		ifhvhv0 31383	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
44	41, 42, 43	lnopeq0lem1 32366	. 2 ⊢ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)
45	20, 40, 44	dedth2h 4547	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 400 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ifcif 4487 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ici 11106 + caddc 11107 · cmul 11109 − cmin 11445 / cdiv 11875 4c4 12301 ℋchba 31280 +_ℎ cva 31281 ·_ℎ csm 31282 ·_ih csp 31283 0_ℎc0v 31285 −_ℎ cmv 31286 LinOpclo 31308

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-resscn 11161 ax-1cn 11162 ax-icn 11163 ax-addcl 11164 ax-addrcl 11165 ax-mulcl 11166 ax-mulrcl 11167 ax-mulcom 11168 ax-addass 11169 ax-mulass 11170 ax-distr 11171 ax-i2m1 11172 ax-1ne0 11173 ax-1rid 11174 ax-rnegex 11175 ax-rrecex 11176 ax-cnre 11177 ax-pre-lttri 11178 ax-pre-lttrn 11179 ax-pre-ltadd 11180 ax-pre-mulgt0 11181 ax-hilex 31360 ax-hfvadd 31361 ax-hvass 31363 ax-hv0cl 31364 ax-hvaddid 31365 ax-hfvmul 31366 ax-hvmulid 31367 ax-hvdistr2 31370 ax-hvmul0 31371 ax-hfi 31440 ax-his1 31443 ax-his2 31444 ax-his3 31445

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-er 8690 df-map 8822 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11876 df-nn 12238 df-2 12307 df-3 12308 df-4 12309 df-cj 15155 df-re 15156 df-im 15157 df-hvsub 31332 df-lnop 32202

This theorem is used by: lnopeq0i 32368

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