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Theorem lnopeq0lem2 32035
Description: Lemma for lnopeq0i 32036. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4))

Proof of Theorem lnopeq0lem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
21oveq1d 7446 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih 𝐵))
3 fvoveq1 7454 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
4 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))
53, 4oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
6 fvoveq1 7454 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
7 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
86, 7oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
95, 8oveq12d 7449 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))))
10 fvoveq1 7454 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))))
11 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))
1210, 11oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))))
13 fvoveq1 7454 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))
14 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))
1513, 14oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))
1612, 15oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))
1716oveq2d 7447 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))))
189, 17oveq12d 7449 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))))
1918oveq1d 7446 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) / 4))
202, 19eqeq12d 2751 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) / 4)))
21 oveq2 7439 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
22 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2322fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2423, 22oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
25 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2625fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2726, 25oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2824, 27oveq12d 7449 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
29 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · 𝐵) = (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
3130fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3231, 30oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3329oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
3433fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3534, 33oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3632, 35oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))
3736oveq2d 7447 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))))
3828, 37oveq12d 7449 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))))
3938oveq1d 7446 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))) / 4))
4021, 39eqeq12d 2751 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))) / 4)))
41 lnopeq0.1 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
42 ifhvhv0 31051 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
43 ifhvhv0 31051 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
4441, 42, 43lnopeq0lem1 32034 . 2 ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))) / 4)
4520, 40, 44dedth2h 4590 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531  cfv 6563  (class class class)co 7431  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  4c4 12321  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950   ·ih csp 30951  0c0v 30953   cmv 30954  LinOpclo 30976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-hvsub 31000  df-lnop 31870
This theorem is referenced by:  lnopeq0i  32036
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