lnopeq0lem2 - Hilbert Space Explorer

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Theorem lnopeq0lem2 30347

Description: Lemma for lnopeq0i 30348. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

**Assertion**
Ref	Expression
lnopeq0lem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

**Proof of Theorem lnopeq0lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6768	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
2	1	oveq1d 7283	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵))
3		fvoveq1 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
4		oveq1 7275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))
5	3, 4	oveq12d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
6		fvoveq1 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
7		oveq1 7275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
8	6, 7	oveq12d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
9	5, 8	oveq12d 7286	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))))
10		fvoveq1 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
11		oveq1 7275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
12	10, 11	oveq12d 7286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
13		fvoveq1 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
14		oveq1 7275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
15	13, 14	oveq12d 7286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
16	12, 15	oveq12d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
17	16	oveq2d 7284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))
18	9, 17	oveq12d 7286	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
19	18	oveq1d 7283	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))
20	2, 19	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4)))
21		oveq2 7276	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
22		oveq2 7276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
23	22	fveq2d 6772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
24	23, 22	oveq12d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
25		oveq2 7276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
26	25	fveq2d 6772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
27	26, 25	oveq12d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
28	24, 27	oveq12d 7286	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
29		oveq2 7276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
30	29	oveq2d 7284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
31	30	fveq2d 6772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
32	31, 30	oveq12d 7286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
33	29	oveq2d 7284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
34	33	fveq2d 6772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
35	34, 33	oveq12d 7286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
36	32, 35	oveq12d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))
37	36	oveq2d 7284	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))))
38	28, 37	oveq12d 7286	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))))
39	38	oveq1d 7283	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4))
40	21, 39	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)))
41		lnopeq0.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
42		ifhvhv0 29363	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
43		ifhvhv0 29363	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
44	41, 42, 43	lnopeq0lem1 30346	. 2 ⊢ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)
45	20, 40, 44	dedth2h 4523	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2109 ifcif 4464 ‘cfv 6430 (class class class)co 7268 ici 10857 + caddc 10858 · cmul 10860 − cmin 11188 / cdiv 11615 4c4 12013 ℋchba 29260 +_ℎ cva 29261 ·_ℎ csm 29262 ·_ih csp 29263 0_ℎc0v 29265 −_ℎ cmv 29266 LinOpclo 29288

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1801 ax-4 1815 ax-5 1916 ax-6 1974 ax-7 2014 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2140 ax-11 2157 ax-12 2174 ax-ext 2710 ax-sep 5226 ax-nul 5233 ax-pow 5291 ax-pr 5355 ax-un 7579 ax-resscn 10912 ax-1cn 10913 ax-icn 10914 ax-addcl 10915 ax-addrcl 10916 ax-mulcl 10917 ax-mulrcl 10918 ax-mulcom 10919 ax-addass 10920 ax-mulass 10921 ax-distr 10922 ax-i2m1 10923 ax-1ne0 10924 ax-1rid 10925 ax-rnegex 10926 ax-rrecex 10927 ax-cnre 10928 ax-pre-lttri 10929 ax-pre-lttrn 10930 ax-pre-ltadd 10931 ax-pre-mulgt0 10932 ax-hilex 29340 ax-hfvadd 29341 ax-hvass 29343 ax-hv0cl 29344 ax-hvaddid 29345 ax-hfvmul 29346 ax-hvmulid 29347 ax-hvdistr2 29350 ax-hvmul0 29351 ax-hfi 29420 ax-his1 29423 ax-his2 29424 ax-his3 29425

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1786 df-nf 1790 df-sb 2071 df-mo 2541 df-eu 2570 df-clab 2717 df-cleq 2731 df-clel 2817 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3070 df-rex 3071 df-reu 3072 df-rmo 3073 df-rab 3074 df-v 3432 df-sbc 3720 df-csb 3837 df-dif 3894 df-un 3896 df-in 3898 df-ss 3908 df-nul 4262 df-if 4465 df-pw 4540 df-sn 4567 df-pr 4569 df-op 4573 df-uni 4845 df-iun 4931 df-br 5079 df-opab 5141 df-mpt 5162 df-id 5488 df-po 5502 df-so 5503 df-xp 5594 df-rel 5595 df-cnv 5596 df-co 5597 df-dm 5598 df-rn 5599 df-res 5600 df-ima 5601 df-iota 6388 df-fun 6432 df-fn 6433 df-f 6434 df-f1 6435 df-fo 6436 df-f1o 6437 df-fv 6438 df-riota 7225 df-ov 7271 df-oprab 7272 df-mpo 7273 df-er 8472 df-map 8591 df-en 8708 df-dom 8709 df-sdom 8710 df-pnf 10995 df-mnf 10996 df-xr 10997 df-ltxr 10998 df-le 10999 df-sub 11190 df-neg 11191 df-div 11616 df-2 12019 df-3 12020 df-4 12021 df-cj 14791 df-re 14792 df-im 14793 df-hvsub 29312 df-lnop 30182

This theorem is referenced by: lnopeq0i 30348

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