lnopeq0lem2 - Hilbert Space Explorer

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Theorem lnopeq0lem2 31259

Description: Lemma for lnopeq0i 31260. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

**Assertion**
Ref	Expression
lnopeq0lem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

**Proof of Theorem lnopeq0lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6892	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
2	1	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵))
3		fvoveq1 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
4		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))
5	3, 4	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
6		fvoveq1 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
7		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
8	6, 7	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
9	5, 8	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))))
10		fvoveq1 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
11		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
12	10, 11	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
13		fvoveq1 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
14		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
15	13, 14	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
16	12, 15	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
17	16	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))
18	9, 17	oveq12d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
19	18	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))
20	2, 19	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4)))
21		oveq2 7417	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
22		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
23	22	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
24	23, 22	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
25		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
26	25	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
27	26, 25	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
28	24, 27	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
29		oveq2 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
30	29	oveq2d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
31	30	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
32	31, 30	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
33	29	oveq2d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
34	33	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
35	34, 33	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
36	32, 35	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))
37	36	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))))
38	28, 37	oveq12d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))))
39	38	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4))
40	21, 39	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)))
41		lnopeq0.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
42		ifhvhv0 30275	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
43		ifhvhv0 30275	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
44	41, 42, 43	lnopeq0lem1 31258	. 2 ⊢ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)
45	20, 40, 44	dedth2h 4588	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ifcif 4529 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ici 11112 + caddc 11113 · cmul 11115 − cmin 11444 / cdiv 11871 4c4 12269 ℋchba 30172 +_ℎ cva 30173 ·_ℎ csm 30174 ·_ih csp 30175 0_ℎc0v 30177 −_ℎ cmv 30178 LinOpclo 30200

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-hilex 30252 ax-hfvadd 30253 ax-hvass 30255 ax-hv0cl 30256 ax-hvaddid 30257 ax-hfvmul 30258 ax-hvmulid 30259 ax-hvdistr2 30262 ax-hvmul0 30263 ax-hfi 30332 ax-his1 30335 ax-his2 30336 ax-his3 30337

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-er 8703 df-map 8822 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-hvsub 30224 df-lnop 31094

This theorem is referenced by: lnopeq0i 31260

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