lnopeq0lem2 - Hilbert Space Explorer

	Hilbert Space Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > lnopeq0lem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem lnopeq0lem2 32609

Description: Lemma for lnopeq0i 32610. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

**Assertion**
Ref	Expression
lnopeq0lem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

**Proof of Theorem lnopeq0lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6886	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
2	1	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵))
3		fvoveq1 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
4		oveq1 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))
5	3, 4	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
6		fvoveq1 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
7		oveq1 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
8	6, 7	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
9	5, 8	oveq12d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))))
10		fvoveq1 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
11		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
12	10, 11	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
13		fvoveq1 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
14		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
15	13, 14	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
16	12, 15	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
17	16	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))
18	9, 17	oveq12d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
19	18	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))
20	2, 19	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4)))
21		oveq2 7429	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
22		oveq2 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
23	22	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
24	23, 22	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
25		oveq2 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
26	25	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
27	26, 25	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
28	24, 27	oveq12d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
29		oveq2 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
30	29	oveq2d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
31	30	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
32	31, 30	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
33	29	oveq2d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
34	33	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
35	34, 33	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
36	32, 35	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))
37	36	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))))
38	28, 37	oveq12d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))))
39	38	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4))
40	21, 39	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)))
41		lnopeq0.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
42		ifhvhv0 31625	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
43		ifhvhv0 31625	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
44	41, 42, 43	lnopeq0lem1 32608	. 2 ⊢ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))))) / 4)
45	20, 40, 44	dedth2h 4542	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 +_ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) / 4))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ifcif 4482 ‘cfv 6539 (class class class)co 7421 ici 11203 + caddc 11204 · cmul 11206 − cmin 11542 / cdiv 11974 4c4 12400 ℋchba 31522 +_ℎ cva 31523 ·_ℎ csm 31524 ·_ih csp 31525 0_ℎc0v 31527 −_ℎ cmv 31528 LinOpclo 31550

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7752 ax-resscn 11258 ax-1cn 11259 ax-icn 11260 ax-addcl 11261 ax-addrcl 11262 ax-mulcl 11263 ax-mulrcl 11264 ax-mulcom 11265 ax-addass 11266 ax-mulass 11267 ax-distr 11268 ax-i2m1 11269 ax-1ne0 11270 ax-1rid 11271 ax-rnegex 11272 ax-rrecex 11273 ax-cnre 11274 ax-pre-lttri 11275 ax-pre-lttrn 11276 ax-pre-ltadd 11277 ax-pre-mulgt0 11278 ax-hilex 31602 ax-hfvadd 31603 ax-hvass 31605 ax-hv0cl 31606 ax-hvaddid 31607 ax-hfvmul 31608 ax-hvmulid 31609 ax-hvdistr2 31612 ax-hvmul0 31613 ax-hfi 31682 ax-his1 31685 ax-his2 31686 ax-his3 31687

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3915 df-pss 4035 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6305 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6495 df-fun 6541 df-fn 6542 df-f 6543 df-f1 6544 df-fo 6545 df-f1o 6546 df-fv 6547 df-riota 7378 df-ov 7424 df-oprab 7425 df-mpo 7426 df-om 7879 df-2nd 8003 df-frecs 8300 df-wrecs 8331 df-recs 8380 df-rdg 8419 df-er 8718 df-map 8850 df-en 8975 df-dom 8976 df-sdom 8977 df-pnf 11346 df-mnf 11347 df-xr 11348 df-ltxr 11349 df-le 11350 df-sub 11544 df-neg 11545 df-div 11975 df-nn 12337 df-2 12406 df-3 12407 df-4 12408 df-cj 15267 df-re 15268 df-im 15269 df-hvsub 31574 df-lnop 32444

This theorem is used by: lnopeq0i 32610

W3C validator