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Theorem lnopeq0lem2 31237
Description: Lemma for lnopeq0i 31238. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4))

Proof of Theorem lnopeq0lem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
21oveq1d 7419 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih 𝐵))
3 fvoveq1 7427 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
4 oveq1 7411 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))
53, 4oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
6 fvoveq1 7427 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
7 oveq1 7411 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
86, 7oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
95, 8oveq12d 7422 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))))
10 fvoveq1 7427 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))))
11 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))
1210, 11oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))))
13 fvoveq1 7427 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))
14 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))
1513, 14oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))
1612, 15oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))
1716oveq2d 7420 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))))
189, 17oveq12d 7422 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))))
1918oveq1d 7419 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) / 4))
202, 19eqeq12d 2749 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) / 4)))
21 oveq2 7412 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih 𝐵) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
22 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2322fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2423, 22oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
25 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2625fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2726, 25oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2824, 27oveq12d 7422 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
29 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · 𝐵) = (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
3029oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
3130fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3231, 30oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3329oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
3433fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) = (𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3534, 33oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) = ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3632, 35oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))) = (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))
3736oveq2d 7420 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))) = (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))))
3828, 37oveq12d 7422 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) = ((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))))
3938oveq1d 7419 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) / 4) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))) / 4))
4021, 39eqeq12d 2749 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))))) / 4) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))) / 4)))
41 lnopeq0.1 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
42 ifhvhv0 30253 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
43 ifhvhv0 30253 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
4441, 42, 43lnopeq0lem1 31236 . 2 ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) + (i · (((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) − ((𝑇‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))) / 4)
4520, 40, 44dedth2h 4586 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4527  cfv 6540  (class class class)co 7404  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440   / cdiv 11867  4c4 12265  chba 30150   + cva 30151   · csm 30152   ·ih csp 30153  0c0v 30155   cmv 30156  LinOpclo 30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-hvsub 30202  df-lnop 31072
This theorem is referenced by:  lnopeq0i  31238
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