polid - Hilbert Space Explorer

	Hilbert Space Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > polid		Structured version Visualization version GIF version

Theorem polid 29194

Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 29119. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
polid	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))

**Proof of Theorem polid**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7198	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵))
2		fvoveq1 7214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
3	2	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2))
4		fvoveq1 7214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
5	4	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2))
6	3, 5	oveq12d 7209	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)))
7		fvoveq1 7214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
8	7	oveq1d 7206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))
9		fvoveq1 7214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
10	9	oveq1d 7206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))
11	8, 10	oveq12d 7209	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))
12	11	oveq2d 7207	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))))
13	6, 12	oveq12d 7209	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))))
14	13	oveq1d 7206	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))
15	1, 14	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)))
16		oveq2 7199	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
17		oveq2 7199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
18	17	fveq2d 6699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
19	18	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2))
20		oveq2 7199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
21	20	fveq2d 6699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
22	21	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2))
23	19, 22	oveq12d 7209	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)))
24		oveq2 7199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
25	24	oveq2d 7207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
26	25	fveq2d 6699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
27	26	oveq1d 7206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))
28	24	oveq2d 7207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
29	28	fveq2d 6699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
30	29	oveq1d 7206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))
31	27, 30	oveq12d 7209	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))
32	31	oveq2d 7207	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))))
33	23, 32	oveq12d 7209	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))))
34	33	oveq1d 7206	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4))
35	16, 34	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4)))
36		ifhvhv0 29057	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
37		ifhvhv0 29057	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
38	36, 37	polidi 29193	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4)
39	15, 35, 38	dedth2h 4484	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1543 ∈ wcel 2112 ifcif 4425 ‘cfv 6358 (class class class)co 7191 ici 10696 + caddc 10697 · cmul 10699 − cmin 11027 / cdiv 11454 2c2 11850 4c4 11852 ↑cexp 13600 ℋchba 28954 +_ℎ cva 28955 ·_ℎ csm 28956 ·_ih csp 28957 norm_ℎcno 28958 0_ℎc0v 28959 −_ℎ cmv 28960

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2018 ax-8 2114 ax-9 2122 ax-10 2143 ax-11 2160 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5177 ax-nul 5184 ax-pow 5243 ax-pr 5307 ax-un 7501 ax-cnex 10750 ax-resscn 10751 ax-1cn 10752 ax-icn 10753 ax-addcl 10754 ax-addrcl 10755 ax-mulcl 10756 ax-mulrcl 10757 ax-mulcom 10758 ax-addass 10759 ax-mulass 10760 ax-distr 10761 ax-i2m1 10762 ax-1ne0 10763 ax-1rid 10764 ax-rnegex 10765 ax-rrecex 10766 ax-cnre 10767 ax-pre-lttri 10768 ax-pre-lttrn 10769 ax-pre-ltadd 10770 ax-pre-mulgt0 10771 ax-pre-sup 10772 ax-hfvadd 29035 ax-hv0cl 29038 ax-hfvmul 29040 ax-hvmul0 29045 ax-hfi 29114 ax-his1 29117 ax-his2 29118 ax-his3 29119 ax-his4 29120

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2073 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2809 df-nfc 2879 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3056 df-rex 3057 df-reu 3058 df-rmo 3059 df-rab 3060 df-v 3400 df-sbc 3684 df-csb 3799 df-dif 3856 df-un 3858 df-in 3860 df-ss 3870 df-pss 3872 df-nul 4224 df-if 4426 df-pw 4501 df-sn 4528 df-pr 4530 df-tp 4532 df-op 4534 df-uni 4806 df-iun 4892 df-br 5040 df-opab 5102 df-mpt 5121 df-tr 5147 df-id 5440 df-eprel 5445 df-po 5453 df-so 5454 df-fr 5494 df-we 5496 df-xp 5542 df-rel 5543 df-cnv 5544 df-co 5545 df-dm 5546 df-rn 5547 df-res 5548 df-ima 5549 df-pred 6140 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6316 df-fun 6360 df-fn 6361 df-f 6362 df-f1 6363 df-fo 6364 df-f1o 6365 df-fv 6366 df-riota 7148 df-ov 7194 df-oprab 7195 df-mpo 7196 df-om 7623 df-2nd 7740 df-wrecs 8025 df-recs 8086 df-rdg 8124 df-er 8369 df-en 8605 df-dom 8606 df-sdom 8607 df-sup 9036 df-pnf 10834 df-mnf 10835 df-xr 10836 df-ltxr 10837 df-le 10838 df-sub 11029 df-neg 11030 df-div 11455 df-nn 11796 df-2 11858 df-3 11859 df-4 11860 df-n0 12056 df-z 12142 df-uz 12404 df-rp 12552 df-seq 13540 df-exp 13601 df-cj 14627 df-re 14628 df-im 14629 df-sqrt 14763 df-hnorm 29003 df-hvsub 29006

This theorem is referenced by: hhip 29212

W3C validator