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Theorem polid 29422

Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 29347. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
polid	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))

**Proof of Theorem polid**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7262	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵))
2		fvoveq1 7278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
3	2	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2))
4		fvoveq1 7278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
5	4	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2))
6	3, 5	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)))
7		fvoveq1 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
8	7	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))
9		fvoveq1 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
10	9	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))
11	8, 10	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))
12	11	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))))
13	6, 12	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))))
14	13	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))
15	1, 14	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)))
16		oveq2 7263	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
17		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
18	17	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
19	18	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2))
20		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
21	20	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
22	21	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2))
23	19, 22	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)))
24		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
25	24	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
26	25	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
27	26	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))
28	24	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
29	28	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
30	29	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))
31	27, 30	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))
32	31	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))))
33	23, 32	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))))
34	33	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4))
35	16, 34	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4)))
36		ifhvhv0 29285	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
37		ifhvhv0 29285	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
38	36, 37	polidi 29421	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4)
39	15, 35, 38	dedth2h 4515	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ifcif 4456 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ici 10804 + caddc 10805 · cmul 10807 − cmin 11135 / cdiv 11562 2c2 11958 4c4 11960 ↑cexp 13710 ℋchba 29182 +_ℎ cva 29183 ·_ℎ csm 29184 ·_ih csp 29185 norm_ℎcno 29186 0_ℎc0v 29187 −_ℎ cmv 29188

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880 ax-hfvadd 29263 ax-hv0cl 29266 ax-hfvmul 29268 ax-hvmul0 29273 ax-hfi 29342 ax-his1 29345 ax-his2 29346 ax-his3 29347 ax-his4 29348

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-sup 9131 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-4 11968 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-rp 12660 df-seq 13650 df-exp 13711 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-hnorm 29231 df-hvsub 29234

This theorem is referenced by: hhip 29440

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