polid - Hilbert Space Explorer

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Theorem polid 31191

Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 31116. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
polid	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))

**Proof of Theorem polid**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7455	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵))
2		fvoveq1 7471	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
3	2	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2))
4		fvoveq1 7471	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
5	4	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2))
6	3, 5	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)))
7		fvoveq1 7471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
8	7	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))
9		fvoveq1 7471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
10	9	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))
11	8, 10	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))
12	11	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))))
13	6, 12	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))))
14	13	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))
15	1, 14	eqeq12d 2756	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)))
16		oveq2 7456	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
17		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
18	17	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
19	18	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2))
20		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
21	20	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
22	21	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2))
23	19, 22	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)))
24		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
25	24	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
26	25	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
27	26	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))
28	24	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
29	28	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
30	29	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))
31	27, 30	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))
32	31	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))))
33	23, 32	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))))
34	33	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4))
35	16, 34	eqeq12d 2756	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4)))
36		ifhvhv0 31054	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
37		ifhvhv0 31054	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
38	36, 37	polidi 31190	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4)
39	15, 35, 38	dedth2h 4607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ifcif 4548 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ici 11186 + caddc 11187 · cmul 11189 − cmin 11520 / cdiv 11947 2c2 12348 4c4 12350 ↑cexp 14112 ℋchba 30951 +_ℎ cva 30952 ·_ℎ csm 30953 ·_ih csp 30954 norm_ℎcno 30955 0_ℎc0v 30956 −_ℎ cmv 30957

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262 ax-hfvadd 31032 ax-hv0cl 31035 ax-hfvmul 31037 ax-hvmul0 31042 ax-hfi 31111 ax-his1 31114 ax-his2 31115 ax-his3 31116 ax-his4 31117

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-sup 9511 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-seq 14053 df-exp 14113 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-hnorm 31000 df-hvsub 31003

This theorem is referenced by: hhip 31209

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