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Theorem polid 31092
Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 31017. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
polid ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem polid
StepHypRef Expression
1 oveq1 7431 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵))
2 fvoveq1 7447 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
32oveq1d 7439 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2))
4 fvoveq1 7447 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
54oveq1d 7439 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2))
63, 5oveq12d 7442 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)))
7 fvoveq1 7447 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))))
87oveq1d 7439 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2))
9 fvoveq1 7447 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))
109oveq1d 7439 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2))
118, 10oveq12d 7442 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))
1211oveq2d 7440 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2))))
136, 12oveq12d 7442 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) = ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))))
1413oveq1d 7439 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
151, 14eqeq12d 2742 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)))
16 oveq2 7432 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
17 oveq2 7432 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1817fveq2d 6905 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1918oveq1d 7439 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
20 oveq2 7432 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2120fveq2d 6905 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2221oveq1d 7439 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
2319, 22oveq12d 7442 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)))
24 oveq2 7432 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · 𝐵) = (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2524oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2625fveq2d 6905 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
2726oveq1d 7439 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2))
2824oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2928fveq2d 6905 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3029oveq1d 7439 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2))
3127, 30oveq12d 7442 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))
3231oveq2d 7440 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2))))
3323, 32oveq12d 7442 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) = ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))))
3433oveq1d 7439 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))) / 4))
3516, 34eqeq12d 2742 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))) / 4)))
36 ifhvhv0 30955 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
37 ifhvhv0 30955 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
3836, 37polidi 31091 . 2 (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))) / 4)
3915, 35, 38dedth2h 4592 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  ifcif 4533  cfv 6554  (class class class)co 7424  ici 11160   + caddc 11161   · cmul 11163  cmin 11494   / cdiv 11921  2c2 12319  4c4 12321  cexp 14081  chba 30852   + cva 30853   · csm 30854   ·ih csp 30855  normcno 30856  0c0v 30857   cmv 30858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-hfvadd 30933  ax-hv0cl 30936  ax-hfvmul 30938  ax-hvmul0 30943  ax-hfi 31012  ax-his1 31015  ax-his2 31016  ax-his3 31017  ax-his4 31018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-hnorm 30901  df-hvsub 30904
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