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Theorem polid 28571
Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of axiom ax-his3 28496. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
polid ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem polid
StepHypRef Expression
1 oveq1 6912 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵))
2 fvoveq1 6928 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
32oveq1d 6920 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2))
4 fvoveq1 6928 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
54oveq1d 6920 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2))
63, 5oveq12d 6923 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)))
7 fvoveq1 6928 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))))
87oveq1d 6920 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2))
9 fvoveq1 6928 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))
109oveq1d 6920 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2))
118, 10oveq12d 6923 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))
1211oveq2d 6921 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2))))
136, 12oveq12d 6923 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) = ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))))
1413oveq1d 6920 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
151, 14eqeq12d 2840 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)))
16 oveq2 6913 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
17 oveq2 6913 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1817fveq2d 6437 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1918oveq1d 6920 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
20 oveq2 6913 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2120fveq2d 6437 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2221oveq1d 6920 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
2319, 22oveq12d 6923 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)))
24 oveq2 6913 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · 𝐵) = (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2524oveq2d 6921 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2625fveq2d 6437 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
2726oveq1d 6920 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2))
2824oveq2d 6921 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2928fveq2d 6437 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3029oveq1d 6920 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2))
3127, 30oveq12d 6923 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))
3231oveq2d 6921 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2))))
3323, 32oveq12d 6923 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) = ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))))
3433oveq1d 6920 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))) / 4))
3516, 34eqeq12d 2840 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))) / 4)))
36 ifhvhv0 28434 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
37 ifhvhv0 28434 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
3836, 37polidi 28570 . 2 (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))) / 4)
3915, 35, 38dedth2h 4363 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  ifcif 4306  cfv 6123  (class class class)co 6905  ici 10254   + caddc 10255   · cmul 10257  cmin 10585   / cdiv 11009  2c2 11406  4c4 11408  cexp 13154  chba 28331   + cva 28332   · csm 28333   ·ih csp 28334  normcno 28335  0c0v 28336   cmv 28337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-hfvadd 28412  ax-hv0cl 28415  ax-hfvmul 28417  ax-hvmul0 28422  ax-hfi 28491  ax-his1 28494  ax-his2 28495  ax-his3 28496  ax-his4 28497
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-hnorm 28380  df-hvsub 28383
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