polid - Hilbert Space Explorer

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Theorem polid 28571

Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of axiom ax-his3 28496. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
polid	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))

**Proof of Theorem polid**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6912	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵))
2		fvoveq1 6928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)))
3	2	oveq1d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2))
4		fvoveq1 6928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
5	4	oveq1d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2))
6	3, 5	oveq12d 6923	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)))
7		fvoveq1 6928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
8	7	oveq1d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))
9		fvoveq1 6928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
10	9	oveq1d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))
11	8, 10	oveq12d 6923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))
12	11	oveq2d 6921	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))))
13	6, 12	oveq12d 6923	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))))
14	13	oveq1d 6920	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))
15	1, 14	eqeq12d 2840	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)))
16		oveq2 6913	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
17		oveq2 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
18	17	fveq2d 6437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
19	18	oveq1d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2))
20		oveq2 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
21	20	fveq2d 6437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
22	21	oveq1d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2))
23	19, 22	oveq12d 6923	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)))
24		oveq2 6913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
25	24	oveq2d 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
26	25	fveq2d 6437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
27	26	oveq1d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))
28	24	oveq2d 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
29	28	fveq2d 6437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))))
30	29	oveq1d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) = ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))
31	27, 30	oveq12d 6923	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)) = (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))
32	31	oveq2d 6921	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2))))
33	23, 32	oveq12d 6923	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))))
34	33	oveq1d 6920	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4))
35	16, 34	eqeq12d 2840	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4)))
36		ifhvhv0 28434	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
37		ifhvhv0 28434	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
38	36, 37	polidi 28570	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) = (((((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) +_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2) − ((norm_ℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ (i ·_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))↑2)))) / 4)
39	15, 35, 38	dedth2h 4363	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (((((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((norm_ℎ‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 386 = wceq 1658 ∈ wcel 2166 ifcif 4306 ‘cfv 6123 (class class class)co 6905 ici 10254 + caddc 10255 · cmul 10257 − cmin 10585 / cdiv 11009 2c2 11406 4c4 11408 ↑cexp 13154 ℋchba 28331 +_ℎ cva 28332 ·_ℎ csm 28333 ·_ih csp 28334 norm_ℎcno 28335 0_ℎc0v 28336 −_ℎ cmv 28337

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1896 ax-4 1910 ax-5 2011 ax-6 2077 ax-7 2114 ax-8 2168 ax-9 2175 ax-10 2194 ax-11 2209 ax-12 2222 ax-13 2391 ax-ext 2803 ax-sep 5005 ax-nul 5013 ax-pow 5065 ax-pr 5127 ax-un 7209 ax-cnex 10308 ax-resscn 10309 ax-1cn 10310 ax-icn 10311 ax-addcl 10312 ax-addrcl 10313 ax-mulcl 10314 ax-mulrcl 10315 ax-mulcom 10316 ax-addass 10317 ax-mulass 10318 ax-distr 10319 ax-i2m1 10320 ax-1ne0 10321 ax-1rid 10322 ax-rnegex 10323 ax-rrecex 10324 ax-cnre 10325 ax-pre-lttri 10326 ax-pre-lttrn 10327 ax-pre-ltadd 10328 ax-pre-mulgt0 10329 ax-pre-sup 10330 ax-hfvadd 28412 ax-hv0cl 28415 ax-hfvmul 28417 ax-hvmul0 28422 ax-hfi 28491 ax-his1 28494 ax-his2 28495 ax-his3 28496 ax-his4 28497

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 881 df-3or 1114 df-3an 1115 df-tru 1662 df-ex 1881 df-nf 1885 df-sb 2070 df-mo 2605 df-eu 2640 df-clab 2812 df-cleq 2818 df-clel 2821 df-nfc 2958 df-ne 3000 df-nel 3103 df-ral 3122 df-rex 3123 df-reu 3124 df-rmo 3125 df-rab 3126 df-v 3416 df-sbc 3663 df-csb 3758 df-dif 3801 df-un 3803 df-in 3805 df-ss 3812 df-pss 3814 df-nul 4145 df-if 4307 df-pw 4380 df-sn 4398 df-pr 4400 df-tp 4402 df-op 4404 df-uni 4659 df-iun 4742 df-br 4874 df-opab 4936 df-mpt 4953 df-tr 4976 df-id 5250 df-eprel 5255 df-po 5263 df-so 5264 df-fr 5301 df-we 5303 df-xp 5348 df-rel 5349 df-cnv 5350 df-co 5351 df-dm 5352 df-rn 5353 df-res 5354 df-ima 5355 df-pred 5920 df-ord 5966 df-on 5967 df-lim 5968 df-suc 5969 df-iota 6086 df-fun 6125 df-fn 6126 df-f 6127 df-f1 6128 df-fo 6129 df-f1o 6130 df-fv 6131 df-riota 6866 df-ov 6908 df-oprab 6909 df-mpt2 6910 df-om 7327 df-2nd 7429 df-wrecs 7672 df-recs 7734 df-rdg 7772 df-er 8009 df-en 8223 df-dom 8224 df-sdom 8225 df-sup 8617 df-pnf 10393 df-mnf 10394 df-xr 10395 df-ltxr 10396 df-le 10397 df-sub 10587 df-neg 10588 df-div 11010 df-nn 11351 df-2 11414 df-3 11415 df-4 11416 df-n0 11619 df-z 11705 df-uz 11969 df-rp 12113 df-seq 13096 df-exp 13155 df-cj 14216 df-re 14217 df-im 14218 df-sqrt 14352 df-hnorm 28380 df-hvsub 28383

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