HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3lemt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm3lemt 30914
Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm3lemt (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷))

Proof of Theorem norm3lemt
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7428 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)))
21breq1d 5151 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2)))
32anbi1d 629 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2))))
4 fvoveq1 7428 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
54breq1d 5151 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷 ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷))
63, 5imbi12d 344 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷)))
7 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
87fveq2d 6889 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(𝐶 𝐵)) = (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
98breq1d 5151 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)))
109anbi2d 628 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2))))
11 oveq2 7413 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1211fveq2d 6889 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1312breq1d 5151 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷 ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷))
1410, 13imbi12d 344 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷)))
15 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1615fveq2d 6889 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))))
1716breq1d 5151 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2)))
18 fvoveq1 7428 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1918breq1d 5151 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)))
2017, 19anbi12d 630 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2))))
2120imbi1d 341 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷)))
22 oveq1 7412 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (𝐷 / 2) = (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))
2322breq2d 5153 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
2422breq2d 5153 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
2523, 24anbi12d 630 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))))
26 breq2 5145 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷 ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2)))
2725, 26imbi12d 344 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))))
28 ifhvhv0 30784 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
29 ifhvhv0 30784 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
30 ifhvhv0 30784 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
31 2re 12290 . . . 4 2 ∈ ℝ
3231elimel 4592 . . 3 if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) ∈ ℝ
3328, 29, 30, 32norm3lem 30911 . 2 (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))
346, 14, 21, 27, 33dedth4h 4584 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  cr 11111   < clt 11252   / cdiv 11875  2c2 12271  chba 30681  normcno 30685  0c0v 30686   cmv 30687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-hnorm 30730  df-hvsub 30733
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator