Theorem norm3lemt 31355

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm3lemt	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷))

Proof of Theorem norm3lemt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)))
2	1	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2)))
3	2	anbi1d 640	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2))))
4		fvoveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
5	4	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷 ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷))
6	3, 5	imbi12d 346	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷)))
7		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐶 −ℎ 𝐵) = (𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	7	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9	8	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)))
10	9	anbi2d 639	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2))))
11		oveq2 7404	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
12	11	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
13	12	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷 ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷))
14	10, 13	imbi12d 346	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷)))
15		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
16	15	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))))
17	16	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)))
18		fvoveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
19	18	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)))
20	17, 19	anbi12d 641	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2))))
21	20	imbi1d 343	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷)))
22		oveq1 7403	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (𝐷 / 2) = (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))
23	22	breq2d 5112	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
24	22	breq2d 5112	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
25	23, 24	anbi12d 641	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))))
26		breq2 5104	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷 ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2)))
27	25, 26	imbi12d 346	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))))
28		ifhvhv0 31225	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
29		ifhvhv0 31225	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
30		ifhvhv0 31225	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
31		2re 12292	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	elimel 4550	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) ∈ ℝ
33	28, 29, 30, 32	norm3lem 31352	. 2 ⊢ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))
34	6, 14, 21, 27, 33	dedth4h 4542	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ifcif 4480   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072   < clt 11216   / cdiv 11844  2c2 12272   ℋchba 31122  norm_ℎcno 31126  0_ℎc0v 31127   −_ℎ cmv 31128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-hfvadd 31203  ax-hvcom 31204  ax-hvass 31205  ax-hv0cl 31206  ax-hvaddid 31207  ax-hfvmul 31208  ax-hvmulid 31209  ax-hvmulass 31210  ax-hvdistr2 31212  ax-hvmul0 31213  ax-hfi 31282  ax-his1 31285  ax-his2 31286  ax-his3 31287  ax-his4 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-hnorm 31171  df-hvsub 31174

This theorem is referenced by: (None)