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Theorem norm3lemt 31006
Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm3lemt (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷))

Proof of Theorem norm3lemt
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7439 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)))
21breq1d 5153 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2)))
32anbi1d 629 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2))))
4 fvoveq1 7439 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
54breq1d 5153 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷 ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷))
63, 5imbi12d 343 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷)))
7 oveq2 7424 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
87fveq2d 6896 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(𝐶 𝐵)) = (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
98breq1d 5153 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)))
109anbi2d 628 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2))))
11 oveq2 7424 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1211fveq2d 6896 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1312breq1d 5153 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷 ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷))
1410, 13imbi12d 343 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷)))
15 oveq2 7424 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1615fveq2d 6896 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))))
1716breq1d 5153 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2)))
18 fvoveq1 7439 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1918breq1d 5153 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)))
2017, 19anbi12d 630 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2))))
2120imbi1d 340 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷)))
22 oveq1 7423 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (𝐷 / 2) = (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))
2322breq2d 5155 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
2422breq2d 5155 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
2523, 24anbi12d 630 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))))
26 breq2 5147 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷 ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2)))
2725, 26imbi12d 343 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))))
28 ifhvhv0 30876 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
29 ifhvhv0 30876 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
30 ifhvhv0 30876 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
31 2re 12316 . . . 4 2 ∈ ℝ
3231elimel 4593 . . 3 if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) ∈ ℝ
3328, 29, 30, 32norm3lem 31003 . 2 (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))
346, 14, 21, 27, 33dedth4h 4585 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  cr 11137   < clt 11278   / cdiv 11901  2c2 12297  chba 30773  normcno 30777  0c0v 30778   cmv 30779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-hfvadd 30854  ax-hvcom 30855  ax-hvass 30856  ax-hv0cl 30857  ax-hvaddid 30858  ax-hfvmul 30859  ax-hvmulid 30860  ax-hvmulass 30861  ax-hvdistr2 30863  ax-hvmul0 30864  ax-hfi 30933  ax-his1 30936  ax-his2 30937  ax-his3 30938  ax-his4 30939
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-hnorm 30822  df-hvsub 30825
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