Theorem norm3lemt 31176

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm3lemt	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷))

Proof of Theorem norm3lemt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)))
2	1	breq1d 5106	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2)))
3	2	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2))))
4		fvoveq1 7379	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
5	4	breq1d 5106	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷 ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷))
6	3, 5	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷)))
7		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐶 −ℎ 𝐵) = (𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
8	7	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
9	8	breq1d 5106	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)))
10	9	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2))))
11		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
12	11	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
13	12	breq1d 5106	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷 ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷))
14	10, 13	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷)))
15		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
16	15	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))))
17	16	breq1d 5106	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)))
18		fvoveq1 7379	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
19	18	breq1d 5106	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)))
20	17, 19	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2))))
21	20	imbi1d 341	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷)))
22		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (𝐷 / 2) = (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))
23	22	breq2d 5108	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
24	22	breq2d 5108	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
25	23, 24	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))))
26		breq2 5100	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷 ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2)))
27	25, 26	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))))
28		ifhvhv0 31046	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
29		ifhvhv0 31046	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
30		ifhvhv0 31046	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
31		2re 12217	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	elimel 4547	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) ∈ ℝ
33	28, 29, 30, 32	norm3lem 31173	. 2 ⊢ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))
34	6, 14, 21, 27, 33	dedth4h 4539	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4477   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023   < clt 11164   / cdiv 11792  2c2 12198   ℋchba 30943  norm_ℎcno 30947  0_ℎc0v 30948   −_ℎ cmv 30949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-hfvadd 31024  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvmulass 31031  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his1 31106  ax-his2 31107  ax-his3 31108  ax-his4 31109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-hnorm 30992  df-hvsub 30995

This theorem is referenced by: (None)