Theorem hvsubadd 31096

Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem hvsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶))
3		eqeq2 2749	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
4	2, 3	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
5		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶))
7		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶))
8	7	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
9	6, 8	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
10		eqeq2 2749	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
11		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
12	11	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
13	10, 12	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
14		ifhvhv0 31041	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
15		ifhvhv0 31041	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
16		ifhvhv0 31041	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
17	14, 15, 16	hvsubaddi 31085	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
18	4, 9, 13, 17	dedth3h 4586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525  (class class class)co 7431   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939  0_ℎc0v 30943   −_ℎ cmv 30944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-hvsub 30990

This theorem is referenced by:  shmodsi  31408  pjop  31446  pjpo  31447  chscllem2  31657  pjo  31690  hodsi  31794  pjimai  32195  superpos  32373  sumdmdii  32434  sumdmdlem  32437