Theorem hvsubadd 31685

Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem hvsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶))
3		eqeq2 2772	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
4	2, 3	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
5		oveq2 7429	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶))
7		oveq1 7428	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶))
8	7	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
9	6, 8	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
10		eqeq2 2772	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
11		oveq2 7429	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
12	11	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
13	10, 12	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
14		ifhvhv0 31630	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
15		ifhvhv0 31630	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
16		ifhvhv0 31630	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
17	14, 15, 16	hvsubaddi 31674	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
18	4, 9, 13, 17	dedth3h 4542	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  (class class class)co 7421   ℋchba 31527   +_ℎ cva 31528  0_ℎc0v 31532   −_ℎ cmv 31533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-hfvadd 31608  ax-hvcom 31609  ax-hvass 31610  ax-hv0cl 31611  ax-hvaddid 31612  ax-hfvmul 31613  ax-hvmulid 31614  ax-hvdistr2 31617  ax-hvmul0 31618

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-neg 11548  df-hvsub 31579

This theorem is used by:  shmodsi  31997  pjop  32035  pjpo  32036  chscllem2  32246  pjo  32279  hodsi  32383  pjimai  32784  superpos  32962  sumdmdii  33023  sumdmdlem  33026