HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubadd 31106
Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubadd ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem hvsubadd
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21eqeq1d 2737 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶))
3 eqeq2 2747 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
42, 3bibi12d 345 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
5 oveq2 7439 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65eqeq1d 2737 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶))
7 oveq1 7438 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶))
87eqeq1d 2737 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
96, 8bibi12d 345 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
10 eqeq2 2747 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
11 oveq2 7439 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1211eqeq1d 2737 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1310, 12bibi12d 345 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
14 ifhvhv0 31051 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
15 ifhvhv0 31051 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
16 ifhvhv0 31051 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
1714, 15, 16hvsubaddi 31095 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
184, 9, 13, 17dedth3h 4591 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531  (class class class)co 7431  chba 30948   + cva 30949  0c0v 30953   cmv 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  shmodsi  31418  pjop  31456  pjpo  31457  chscllem2  31667  pjo  31700  hodsi  31804  pjimai  32205  superpos  32383  sumdmdii  32444  sumdmdlem  32447
  Copyright terms: Public domain W3C validator