Theorem hvsubadd 29418

Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem hvsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7275	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	eqeq1d 2741	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶))
3		eqeq2 2751	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
4	2, 3	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
5		oveq2 7276	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	eqeq1d 2741	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶))
7		oveq1 7275	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶))
8	7	eqeq1d 2741	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
9	6, 8	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
10		eqeq2 2751	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
11		oveq2 7276	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
12	11	eqeq1d 2741	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
13	10, 12	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
14		ifhvhv0 29363	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
15		ifhvhv0 29363	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
16		ifhvhv0 29363	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
17	14, 15, 16	hvsubaddi 29407	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
18	4, 9, 13, 17	dedth3h 4524	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ifcif 4464  (class class class)co 7268   ℋchba 29260   +_ℎ cva 29261  0_ℎc0v 29265   −_ℎ cmv 29266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-hfvadd 29341  ax-hvcom 29342  ax-hvass 29343  ax-hv0cl 29344  ax-hvaddid 29345  ax-hfvmul 29346  ax-hvmulid 29347  ax-hvdistr2 29350  ax-hvmul0 29351

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-sub 11190  df-neg 11191  df-hvsub 29312

This theorem is referenced by:  shmodsi  29730  pjop  29768  pjpo  29769  chscllem2  29979  pjo  30012  hodsi  30116  pjimai  30517  superpos  30695  sumdmdii  30756  sumdmdlem  30759