Theorem hvsubadd 31039

Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem hvsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7360	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶))
3		eqeq2 2741	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
4	2, 3	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
5		oveq2 7361	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶))
7		oveq1 7360	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶))
8	7	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
9	6, 8	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
10		eqeq2 2741	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
11		oveq2 7361	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
12	11	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
13	10, 12	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
14		ifhvhv0 30984	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
15		ifhvhv0 30984	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
16		ifhvhv0 30984	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
17	14, 15, 16	hvsubaddi 31028	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) +ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
18	4, 9, 13, 17	dedth3h 4539	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478  (class class class)co 7353   ℋchba 30881   +_ℎ cva 30882  0_ℎc0v 30886   −_ℎ cmv 30887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-hfvadd 30962  ax-hvcom 30963  ax-hvass 30964  ax-hv0cl 30965  ax-hvaddid 30966  ax-hfvmul 30967  ax-hvmulid 30968  ax-hvdistr2 30971  ax-hvmul0 30972

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-hvsub 30933

This theorem is referenced by:  shmodsi  31351  pjop  31389  pjpo  31390  chscllem2  31600  pjo  31633  hodsi  31737  pjimai  32138  superpos  32316  sumdmdii  32377  sumdmdlem  32380