HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubadd 28860
Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubadd ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem hvsubadd
StepHypRef Expression
1 oveq1 7142 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21eqeq1d 2800 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶))
3 eqeq2 2810 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
42, 3bibi12d 349 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
5 oveq2 7143 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65eqeq1d 2800 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶))
7 oveq1 7142 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶))
87eqeq1d 2800 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
96, 8bibi12d 349 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
10 eqeq2 2810 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
11 oveq2 7143 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1211eqeq1d 2800 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1310, 12bibi12d 349 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
14 ifhvhv0 28805 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
15 ifhvhv0 28805 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
16 ifhvhv0 28805 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
1714, 15, 16hvsubaddi 28849 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
184, 9, 13, 17dedth3h 4483 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  ifcif 4425  (class class class)co 7135  chba 28702   + cva 28703  0c0v 28707   cmv 28708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-hfvadd 28783  ax-hvcom 28784  ax-hvass 28785  ax-hv0cl 28786  ax-hvaddid 28787  ax-hfvmul 28788  ax-hvmulid 28789  ax-hvdistr2 28792  ax-hvmul0 28793
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-hvsub 28754
This theorem is referenced by:  shmodsi  29172  pjop  29210  pjpo  29211  chscllem2  29421  pjo  29454  hodsi  29558  pjimai  29959  superpos  30137  sumdmdii  30198  sumdmdlem  30201
  Copyright terms: Public domain W3C validator