HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubadd 30754
Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubadd ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem hvsubadd
StepHypRef Expression
1 oveq1 7408 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21eqeq1d 2726 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶))
3 eqeq2 2736 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
42, 3bibi12d 345 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
5 oveq2 7409 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65eqeq1d 2726 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶))
7 oveq1 7408 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶))
87eqeq1d 2726 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
96, 8bibi12d 345 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
10 eqeq2 2736 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
11 oveq2 7409 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1211eqeq1d 2726 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1310, 12bibi12d 345 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
14 ifhvhv0 30699 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
15 ifhvhv0 30699 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
16 ifhvhv0 30699 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
1714, 15, 16hvsubaddi 30743 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
184, 9, 13, 17dedth3h 4580 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4520  (class class class)co 7401  chba 30596   + cva 30597  0c0v 30601   cmv 30602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-hfvadd 30677  ax-hvcom 30678  ax-hvass 30679  ax-hv0cl 30680  ax-hvaddid 30681  ax-hfvmul 30682  ax-hvmulid 30683  ax-hvdistr2 30686  ax-hvmul0 30687
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-hvsub 30648
This theorem is referenced by:  shmodsi  31066  pjop  31104  pjpo  31105  chscllem2  31315  pjo  31348  hodsi  31452  pjimai  31853  superpos  32031  sumdmdii  32092  sumdmdlem  32095
  Copyright terms: Public domain W3C validator