Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjssmi 29958
 Description: Projection meet property. Remark in [Kalmbach] p. 66. Also Theorem 4.5(i)->(iv) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjssmi (𝐴 ∈ ℋ → (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)))

Proof of Theorem pjssmi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6646 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((proj𝐺)‘𝐴) = ((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
2 fveq2 6646 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((proj𝐻)‘𝐴) = ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
31, 2oveq12d 7154 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = (((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) − ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
4 fveq2 6646 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
53, 4eqeq12d 2814 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) ↔ (((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) − ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
65imbi2d 344 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)) ↔ (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) − ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
7 pjco.2 . . 3 𝐻C
8 ifhvhv0 28815 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
9 pjco.1 . . 3 𝐺C
107, 8, 9pjssmii 29474 . 2 (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) − ((proj𝐻)‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
116, 10dedth 4481 1 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ℋchba 28712  0ℎc0v 28717   −ℎ cmv 28718   Cℋ cch 28722  ⊥cort 28723  projℎcpjh 28730 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28792  ax-hfvadd 28793  ax-hvcom 28794  ax-hvass 28795  ax-hv0cl 28796  ax-hvaddid 28797  ax-hfvmul 28798  ax-hvmulid 28799  ax-hvmulass 28800  ax-hvdistr1 28801  ax-hvdistr2 28802  ax-hvmul0 28803  ax-hfi 28872  ax-his1 28875  ax-his2 28876  ax-his3 28877  ax-his4 28878  ax-hcompl 28995 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-acn 9358  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-lm 21844  df-haus 21930  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cfil 23869  df-cau 23870  df-cmet 23871  df-grpo 28286  df-gid 28287  df-ginv 28288  df-gdiv 28289  df-ablo 28338  df-vc 28352  df-nv 28385  df-va 28388  df-ba 28389  df-sm 28390  df-0v 28391  df-vs 28392  df-nmcv 28393  df-ims 28394  df-dip 28494  df-ssp 28515  df-ph 28606  df-cbn 28656  df-hnorm 28761  df-hba 28762  df-hvsub 28764  df-hlim 28765  df-hcau 28766  df-sh 29000  df-ch 29014  df-oc 29045  df-ch0 29046  df-shs 29101  df-pjh 29188 This theorem is referenced by:  pjnormssi  29961  pjssdif2i  29967
 Copyright terms: Public domain W3C validator