Theorem norm3adifi 28936

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm3adift.1	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3adifi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem norm3adifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7158	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)))
2	1	fvoveq1d 7157	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) = (abs‘((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))))
3		fvoveq1 7158	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
4	2, 3	breq12d 5043	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (abs‘((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))))
5		fvoveq1 7158	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) = (normℎ‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐶)))
6	5	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐶))))
7	6	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (abs‘((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) = (abs‘((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐶)))))
8		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
9	8	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
10	7, 9	breq12d 5043	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((abs‘((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) ↔ (abs‘((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))))
11		ifhvhv0 28805	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
12		ifhvhv0 28805	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
13		norm3adift.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
14	11, 12, 13	norm3adifii 28931	. 2 ⊢ (abs‘((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
15	4, 10, 14	dedth2h 4482	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ≤ cle 10665   − cmin 10859  abscabs 14585   ℋchba 28702  norm_ℎcno 28706  0_ℎc0v 28707   −_ℎ cmv 28708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-hfvadd 28783  ax-hvcom 28784  ax-hvass 28785  ax-hv0cl 28786  ax-hvaddid 28787  ax-hfvmul 28788  ax-hvmulid 28789  ax-hvmulass 28790  ax-hvdistr1 28791  ax-hvdistr2 28792  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his2 28866  ax-his3 28867  ax-his4 28868

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-hnorm 28751  df-hvsub 28754

This theorem is referenced by: (None)