HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubsub4 30051
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubsub4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷)))

Proof of Theorem hvsubsub4
StepHypRef Expression
1 oveq1 7368 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21oveq1d 7376 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) − (𝐶 𝐷)))
3 oveq1 7368 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶))
43oveq1d 7376 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (𝐵 𝐷)))
52, 4eqeq12d 2749 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (𝐵 𝐷))))
6 oveq2 7369 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
76oveq1d 7376 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (𝐶 𝐷)))
8 oveq1 7368 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷))
98oveq2d 7377 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (𝐵 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)))
107, 9eqeq12d 2749 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (𝐵 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷))))
11 oveq1 7368 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (𝐶 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷))
1211oveq2d 7377 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷)))
13 oveq2 7369 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1413oveq1d 7376 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)))
1512, 14eqeq12d 2749 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷))))
16 oveq2 7369 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0)))
1716oveq2d 7377 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0))))
18 oveq2 7369 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0)))
1918oveq2d 7377 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0))))
2017, 19eqeq12d 2749 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0)))))
21 ifhvhv0 30013 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
22 ifhvhv0 30013 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
23 ifhvhv0 30013 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
24 ifhvhv0 30013 . . 3 if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) ∈ ℋ
2521, 22, 23, 24hvsubsub4i 30050 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0)))
265, 10, 15, 20, 25dedth4h 4551 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4490  (class class class)co 7361  chba 29910  0c0v 29915   cmv 29916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hfvmul 29996  ax-hvdistr1 29999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-neg 11396  df-hvsub 29962
This theorem is referenced by:  chscllem2  30629  5oalem3  30647  5oalem5  30649
  Copyright terms: Public domain W3C validator