Theorem hvsubsub4 31421

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
3		oveq1 7417	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶))
4	3	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))
5	2, 4	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))))
6		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
7	6	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
8		oveq1 7417	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
9	8	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
10	7, 9	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
11		oveq1 7417	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (𝐶 −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
12	11	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
13		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
14	13	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
15	12, 14	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
16		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
17	16	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
18		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
19	18	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
20	17, 19	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))))
21		ifhvhv0 31383	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 31383	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
23		ifhvhv0 31383	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
24		ifhvhv0 31383	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) ∈ ℋ
25	21, 22, 23, 24	hvsubsub4i 31420	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
26	5, 10, 15, 20, 25	dedth4h 4549	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4487  (class class class)co 7410   ℋchba 31280  0_ℎc0v 31285   −_ℎ cmv 31286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-hfvadd 31361  ax-hvcom 31362  ax-hvass 31363  ax-hv0cl 31364  ax-hfvmul 31366  ax-hvdistr1 31369

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11447  df-neg 11448  df-hvsub 31332

This theorem is used by:  chscllem2  31999  5oalem3  32017  5oalem5  32019