Theorem hvsubsub4 31089

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
3		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶))
4	3	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))
5	2, 4	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))))
6		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
7	6	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
8		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
9	8	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
10	7, 9	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
11		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (𝐶 −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
12	11	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
13		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
14	13	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
15	12, 14	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
16		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
17	16	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
18		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
19	18	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
20	17, 19	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))))
21		ifhvhv0 31051	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 31051	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
23		ifhvhv0 31051	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
24		ifhvhv0 31051	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) ∈ ℋ
25	21, 22, 23, 24	hvsubsub4i 31088	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
26	5, 10, 15, 20, 25	dedth4h 4592	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531  (class class class)co 7431   ℋchba 30948  0_ℎc0v 30953   −_ℎ cmv 30954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034  ax-hvdistr1 31037

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000

This theorem is referenced by:  chscllem2  31667  5oalem3  31685  5oalem5  31687