Theorem hvsubsub4 31135

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
3		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶))
4	3	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))
5	2, 4	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))))
6		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
7	6	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
8		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
9	8	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
10	7, 9	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
11		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (𝐶 −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
12	11	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
13		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
14	13	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
15	12, 14	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
16		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
17	16	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
18		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
19	18	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
20	17, 19	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))))
21		ifhvhv0 31097	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 31097	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
23		ifhvhv0 31097	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
24		ifhvhv0 31097	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) ∈ ℋ
25	21, 22, 23, 24	hvsubsub4i 31134	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
26	5, 10, 15, 20, 25	dedth4h 4541	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479  (class class class)co 7358   ℋchba 30994  0_ℎc0v 30999   −_ℎ cmv 31000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hfvmul 31080  ax-hvdistr1 31083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367  df-hvsub 31046

This theorem is referenced by:  chscllem2  31713  5oalem3  31731  5oalem5  31733