Theorem hvsubsub4 31148

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
3		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶))
4	3	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))
5	2, 4	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))))
6		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
7	6	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
8		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
9	8	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
10	7, 9	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
11		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (𝐶 −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
12	11	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
13		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
14	13	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
15	12, 14	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
16		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
17	16	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
18		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
19	18	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
20	17, 19	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))))
21		ifhvhv0 31110	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 31110	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
23		ifhvhv0 31110	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
24		ifhvhv0 31110	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) ∈ ℋ
25	21, 22, 23, 24	hvsubsub4i 31147	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
26	5, 10, 15, 20, 25	dedth4h 4543	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481  (class class class)co 7368   ℋchba 31007  0_ℎc0v 31012   −_ℎ cmv 31013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hfvmul 31093  ax-hvdistr1 31096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-hvsub 31059

This theorem is referenced by:  chscllem2  31726  5oalem3  31744  5oalem5  31746