Theorem hvsubsub4 31689

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7447	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
3		oveq1 7447	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶))
4	3	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))
5	2, 4	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))))
6		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
7	6	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)))
8		oveq1 7447	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
9	8	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
10	7, 9	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
11		oveq1 7447	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (𝐶 −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷))
12	11	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
13		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
14	13	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)))
15	12, 14	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷))))
16		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
17	16	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
18		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
19	18	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))))
20	17, 19	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))))
21		ifhvhv0 31651	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 31651	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
23		ifhvhv0 31651	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
24		ifhvhv0 31651	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ) ∈ ℋ
25	21, 22, 23, 24	hvsubsub4i 31688	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)) −ℎ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0ℎ)))
26	5, 10, 15, 20, 25	dedth4h 4547	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  (class class class)co 7440   ℋchba 31548  0_ℎc0v 31553   −_ℎ cmv 31554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-hfvadd 31629  ax-hvcom 31630  ax-hvass 31631  ax-hv0cl 31632  ax-hfvmul 31634  ax-hvdistr1 31637

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568  df-hvsub 31600

This theorem is used by:  chscllem2  32267  5oalem3  32285  5oalem5  32287