![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > lnopunii | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If a linear operator (whose range is โ) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
lnopuni.1 | โข ๐ โ LinOp |
lnopuni.2 | โข ๐: โโontoโ โ |
lnopuni.3 | โข โ๐ฅ โ โ (normโโ(๐โ๐ฅ)) = (normโโ๐ฅ) |
Ref | Expression |
---|---|
lnopunii | โข ๐ โ UniOp |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lnopuni.2 | . 2 โข ๐: โโontoโ โ | |
2 | fveq2 6846 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) โ (๐โ๐ฅ) = (๐โif(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ))) | |
3 | 2 | oveq1d 7376 | . . . . 5 โข (๐ฅ = if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) โ ((๐โ๐ฅ) ยทih (๐โ๐ฆ)) = ((๐โif(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ)) ยทih (๐โ๐ฆ))) |
4 | oveq1 7368 | . . . . 5 โข (๐ฅ = if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) โ (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = (if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) ยทih ๐ฆ)) | |
5 | 3, 4 | eqeq12d 2749 | . . . 4 โข (๐ฅ = if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) โ (((๐โ๐ฅ) ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih ๐ฆ) โ ((๐โif(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ)) ยทih (๐โ๐ฆ)) = (if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) ยทih ๐ฆ))) |
6 | fveq2 6846 | . . . . . 6 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ) โ (๐โ๐ฆ) = (๐โif(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ))) | |
7 | 6 | oveq2d 7377 | . . . . 5 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ) โ ((๐โif(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ)) ยทih (๐โ๐ฆ)) = ((๐โif(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ)) ยทih (๐โif(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ)))) |
8 | oveq2 7369 | . . . . 5 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ) โ (if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) ยทih ๐ฆ) = (if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) ยทih if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ))) | |
9 | 7, 8 | eqeq12d 2749 | . . . 4 โข (๐ฆ = if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ) โ (((๐โif(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ)) ยทih (๐โ๐ฆ)) = (if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) ยทih ๐ฆ) โ ((๐โif(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ)) ยทih (๐โif(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ))) = (if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) ยทih if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ)))) |
10 | lnopuni.1 | . . . . 5 โข ๐ โ LinOp | |
11 | lnopuni.3 | . . . . 5 โข โ๐ฅ โ โ (normโโ(๐โ๐ฅ)) = (normโโ๐ฅ) | |
12 | ifhvhv0 30013 | . . . . 5 โข if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) โ โ | |
13 | ifhvhv0 30013 | . . . . 5 โข if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ) โ โ | |
14 | 10, 11, 12, 13 | lnopunilem2 31002 | . . . 4 โข ((๐โif(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ)) ยทih (๐โif(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ))) = (if(๐ฅ โ โ, ๐ฅ, 0โ) ยทih if(๐ฆ โ โ, ๐ฆ, 0โ)) |
15 | 5, 9, 14 | dedth2h 4549 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ ((๐โ๐ฅ) ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih ๐ฆ)) |
16 | 15 | rgen2 3191 | . 2 โข โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih ๐ฆ) |
17 | elunop 30863 | . 2 โข (๐ โ UniOp โ (๐: โโontoโ โ โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih ๐ฆ))) | |
18 | 1, 16, 17 | mpbir2an 710 | 1 โข ๐ โ UniOp |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3061 ifcif 4490 โontoโwfo 6498 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โchba 29910 ยทih csp 29913 normโcno 29914 0โc0v 29915 LinOpclo 29938 UniOpcuo 29940 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-pre-sup 11137 ax-hilex 29990 ax-hfvadd 29991 ax-hv0cl 29994 ax-hfvmul 29996 ax-hvmul0 30001 ax-hfi 30070 ax-his1 30073 ax-his2 30074 ax-his3 30075 ax-his4 30076 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-er 8654 df-map 8773 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-sup 9386 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-rp 12924 df-seq 13916 df-exp 13977 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 df-sqrt 15129 df-hnorm 29959 df-lnop 30832 df-unop 30834 |
This theorem is referenced by: elunop2 31004 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |