Theorem lnopunii 32525

Description: If a linear operator (whose range is ℋ) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopuni.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopuni.2	⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
lnopuni.3	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)

Assertion

Ref	Expression
lnopunii	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopunii

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopuni.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
2		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
3	2	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
4		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦))
5	3, 4	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦)))
6		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
7	6	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
8		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
9	7, 8	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
10		lnopuni.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
11		lnopuni.3	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
12		ifhvhv0 31535	. . . . 5 ⊢ if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ∈ ℋ
13		ifhvhv0 31535	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ∈ ℋ
14	10, 11, 12, 13	lnopunilem2 32524	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))
15	5, 9, 14	dedth2h 4542	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
16	15	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)
17		elunop 32385	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
18	1, 16, 17	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ifcif 4482  –onto→wfo 6533  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ℋchba 31432   ·_ih csp 31435  norm_ℎcno 31436  0_ℎc0v 31437  LinOpclo 31460  UniOpcuo 31462

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-hilex 31512  ax-hfvadd 31513  ax-hv0cl 31516  ax-hfvmul 31518  ax-hvmul0 31523  ax-hfi 31592  ax-his1 31595  ax-his2 31596  ax-his3 31597  ax-his4 31598

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-hnorm 31481  df-lnop 32354  df-unop 32356

This theorem is used by:  elunop2  32526