Theorem lnopunii 29422

Description: If a linear operator (whose range is ℋ) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopuni.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopuni.2	⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
lnopuni.3	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)

Assertion

Ref	Expression
lnopunii	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopunii

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopuni.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
2		fveq2 6437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
3	2	oveq1d 6925	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
4		oveq1 6917	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦))
5	3, 4	eqeq12d 2840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦)))
6		fveq2 6437	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
7	6	oveq2d 6926	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
8		oveq2 6918	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
9	7, 8	eqeq12d 2840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
10		lnopuni.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
11		lnopuni.3	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
12		ifhvhv0 28430	. . . . 5 ⊢ if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ∈ ℋ
13		ifhvhv0 28430	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ∈ ℋ
14	10, 11, 12, 13	lnopunilem2 29421	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))
15	5, 9, 14	dedth2h 4365	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
16	15	rgen2a 3186	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)
17		elunop 29282	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
18	1, 16, 17	mpbir2an 702	1 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Syntax hints:   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ifcif 4308  –onto→wfo 6125  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ℋchba 28327   ·_ih csp 28330  norm_ℎcno 28331  0_ℎc0v 28332  LinOpclo 28355  UniOpcuo 28357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hv0cl 28411  ax-hfvmul 28413  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-hnorm 28376  df-lnop 29251  df-unop 29253

This theorem is referenced by:  elunop2  29423