Theorem lnopunii 32036

Description: If a linear operator (whose range is ℋ) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopuni.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopuni.2	⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
lnopuni.3	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)

Assertion

Ref	Expression
lnopunii	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopunii

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopuni.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
2		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
3	2	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
4		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦))
5	3, 4	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦)))
6		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
7	6	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
8		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
9	7, 8	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
10		lnopuni.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
11		lnopuni.3	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
12		ifhvhv0 31046	. . . . 5 ⊢ if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ∈ ℋ
13		ifhvhv0 31046	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ∈ ℋ
14	10, 11, 12, 13	lnopunilem2 32035	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))
15	5, 9, 14	dedth2h 4537	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
16	15	rgen2 3174	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)
17		elunop 31896	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
18	1, 16, 17	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ifcif 4477  –onto→wfo 6488  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ℋchba 30943   ·_ih csp 30946  norm_ℎcno 30947  0_ℎc0v 30948  LinOpclo 30971  UniOpcuo 30973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hv0cl 31027  ax-hfvmul 31029  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his1 31106  ax-his2 31107  ax-his3 31108  ax-his4 31109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-hnorm 30992  df-lnop 31865  df-unop 31867

This theorem is referenced by:  elunop2  32037