HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunii 31003
Description: If a linear operator (whose range is โ„‹) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopuni.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnopuni.2 ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
lnopuni.3 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)
Assertion
Ref Expression
lnopunii ๐‘‡ โˆˆ UniOp
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡

Proof of Theorem lnopunii
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopuni.2 . 2 ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
2 fveq2 6846 . . . . . 6 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)))
32oveq1d 7376 . . . . 5 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
4 oveq1 7368 . . . . 5 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) ยทih ๐‘ฆ))
53, 4eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) ยทih ๐‘ฆ)))
6 fveq2 6846 . . . . . 6 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž)))
76oveq2d 7377 . . . . 5 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž))))
8 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž) โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) ยทih ๐‘ฆ) = (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) ยทih if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž)))
97, 8eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘ฆ = if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž) โ†’ (((๐‘‡โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž))) = (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) ยทih if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž))))
10 lnopuni.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
11 lnopuni.3 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)
12 ifhvhv0 30013 . . . . 5 if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
13 ifhvhv0 30013 . . . . 5 if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
1410, 11, 12, 13lnopunilem2 31002 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž))) = (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) ยทih if(๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ, 0โ„Ž))
155, 9, 14dedth2h 4549 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
1615rgen2 3191 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)
17 elunop 30863 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
181, 16, 17mpbir2an 710 1 ๐‘‡ โˆˆ UniOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  ifcif 4490  โ€“ontoโ†’wfo 6498  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ„‹chba 29910   ยทih csp 29913  normโ„Žcno 29914  0โ„Žc0v 29915  LinOpclo 29938  UniOpcuo 29940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hv0cl 29994  ax-hfvmul 29996  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-hnorm 29959  df-lnop 30832  df-unop 30834
This theorem is referenced by:  elunop2  31004
  Copyright terms: Public domain W3C validator