HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpyth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpyth 29226
Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpyth ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))

Proof of Theorem normpyth
StepHypRef Expression
1 oveq1 7220 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵))
21eqeq1d 2739 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = 0))
3 fvoveq1 7236 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
43oveq1d 7228 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2))
5 fveq2 6717 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm𝐴) = (norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
65oveq1d 7228 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm𝐴)↑2) = ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2))
76oveq1d 7228 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)) = (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
84, 7eqeq12d 2753 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
92, 8imbi12d 348 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm𝐵)↑2)))))
10 oveq2 7221 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1110eqeq1d 2739 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 0))
12 oveq2 7221 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1312fveq2d 6721 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1413oveq1d 7228 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
15 fveq2 6717 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm𝐵) = (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1615oveq1d 7228 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm𝐵)↑2) = ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2))
1716oveq2d 7229 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm𝐵)↑2)) = (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2)))
1814, 17eqeq12d 2753 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm𝐵)↑2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) = (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2))))
1911, 18imbi12d 348 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm𝐵)↑2))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 0 → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) = (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2)))))
20 ifhvhv0 29103 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
21 ifhvhv0 29103 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
2220, 21normpythi 29223 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 0 → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) = (((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2) + ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2)))
239, 19, 22dedth2h 4498 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  ifcif 4439  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729   + caddc 10732  2c2 11885  cexp 13635  chba 29000   + cva 29001   ·ih csp 29003  normcno 29004  0c0v 29005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-hfvadd 29081  ax-hv0cl 29084  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-hnorm 29049
This theorem is referenced by:  normpyc  29227  chscllem2  29719  hstnmoc  30304  hstpyth  30310
  Copyright terms: Public domain W3C validator