Theorem normpyth 31658

Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normpyth	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem normpyth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵))
2	1	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0))
3		fvoveq1 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)))
4	3	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2))
5		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
6	5	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2))
7	6	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
8	4, 7	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
9	2, 8	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))))
10		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
11	10	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0))
12		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
13	12	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
14	13	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2))
15		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
16	15	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐵)↑2) = ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))
17	16	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
18	14, 17	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))))
19	11, 18	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))))
20		ifhvhv0 31535	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
21		ifhvhv0 31535	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
22	20, 21	normpythi 31655	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
23	9, 19, 22	dedth2h 4542	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149   + caddc 11152  2c2 12344  ↑cexp 14150   ℋchba 31432   +_ℎ cva 31433   ·_ih csp 31435  norm_ℎcno 31436  0_ℎc0v 31437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-hfvadd 31513  ax-hv0cl 31516  ax-hvmul0 31523  ax-hfi 31592  ax-his1 31595  ax-his2 31596  ax-his3 31597  ax-his4 31598

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-hnorm 31481

This theorem is used by:  normpyc  31659  chscllem2  32151  hstnmoc  32736  hstpyth  32742