Theorem hvnegdi 31000

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvnegdi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴))

Proof of Theorem hvnegdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
3		oveq2 7432	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
4	2, 3	eqeq12d 2742	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴) ↔ (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
5		oveq2 7432	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		oveq1 7431	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
8	6, 7	eqeq12d 2742	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
9		ifhvhv0 30955	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
10		ifhvhv0 30955	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
11	9, 10	hvnegdii 30995	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
12	4, 8, 11	dedth2h 4592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4533  (class class class)co 7424  1c1 11159  -cneg 11495   ℋchba 30852   ·_ℎ csm 30854  0_ℎc0v 30857   −_ℎ cmv 30858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-hvcom 30934  ax-hv0cl 30936  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvmulass 30940  ax-hvdistr1 30941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-neg 11497  df-hvsub 30904

This theorem is referenced by:  hvsubcan2  31008