HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvnegdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvnegdi 28441
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvnegdi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴))

Proof of Theorem hvnegdi
StepHypRef Expression
1 oveq1 6883 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21oveq2d 6892 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (-1 · (𝐴 𝐵)) = (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
3 oveq2 6884 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐵 𝐴) = (𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
42, 3eqeq12d 2812 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴) ↔ (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
5 oveq2 6884 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65oveq2d 6892 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
7 oveq1 6883 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
86, 7eqeq12d 2812 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
9 ifhvhv0 28396 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
10 ifhvhv0 28396 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
119, 10hvnegdii 28436 . 2 (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
124, 8, 11dedth2h 4332 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  ifcif 4275  (class class class)co 6876  1c1 10223  -cneg 10555  chba 28293   · csm 28295  0c0v 28298   cmv 28299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-hvcom 28375  ax-hv0cl 28377  ax-hfvmul 28379  ax-hvmulid 28380  ax-hvmulass 28381  ax-hvdistr1 28382
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-ltxr 10366  df-sub 10556  df-neg 10557  df-hvsub 28345
This theorem is referenced by:  hvsubcan2  28449
  Copyright terms: Public domain W3C validator