Theorem hvnegdi 29330

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvnegdi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴))

Proof of Theorem hvnegdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7262	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
3		oveq2 7263	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
4	2, 3	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴) ↔ (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
5		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		oveq1 7262	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
8	6, 7	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
9		ifhvhv0 29285	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
10		ifhvhv0 29285	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
11	9, 10	hvnegdii 29325	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
12	4, 8, 11	dedth2h 4515	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  (class class class)co 7255  1c1 10803  -cneg 11136   ℋchba 29182   ·_ℎ csm 29184  0_ℎc0v 29187   −_ℎ cmv 29188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-hvcom 29264  ax-hv0cl 29266  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-hvsub 29234

This theorem is referenced by:  hvsubcan2  29338