Theorem hvnegdi 31532

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvnegdi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴))

Proof of Theorem hvnegdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
2	1	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
3		oveq2 7424	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
4	2, 3	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴) ↔ (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
5		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
6	5	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
7		oveq1 7423	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
8	6, 7	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)) ↔ (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
9		ifhvhv0 31487	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
10		ifhvhv0 31487	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
11	9, 10	hvnegdii 31527	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) −ℎ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
12	4, 8, 11	dedth2h 4545	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485  (class class class)co 7416  1c1 11126  -cneg 11467   ℋchba 31384   ·_ℎ csm 31386  0_ℎc0v 31389   −_ℎ cmv 31390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-hvcom 31466  ax-hv0cl 31468  ax-hfvmul 31470  ax-hvmulid 31471  ax-hvmulass 31472  ax-hvdistr1 31473

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-sub 11468  df-neg 11469  df-hvsub 31436

This theorem is used by:  hvsubcan2  31540