HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvnegdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvnegdi 28848
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvnegdi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴))

Proof of Theorem hvnegdi
StepHypRef Expression
1 oveq1 7153 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21oveq2d 7162 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (-1 · (𝐴 𝐵)) = (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
3 oveq2 7154 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐵 𝐴) = (𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
42, 3eqeq12d 2840 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴) ↔ (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
5 oveq2 7154 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65oveq2d 7162 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
7 oveq1 7153 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
86, 7eqeq12d 2840 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (𝐵 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
9 ifhvhv0 28803 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
10 ifhvhv0 28803 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
119, 10hvnegdii 28843 . 2 (-1 · (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
124, 8, 11dedth2h 4507 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4450  (class class class)co 7146  1c1 10532  -cneg 10865  chba 28700   · csm 28702  0c0v 28705   cmv 28706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-hvcom 28782  ax-hv0cl 28784  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvmulass 28788  ax-hvdistr1 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867  df-hvsub 28752
This theorem is referenced by:  hvsubcan2  28856
  Copyright terms: Public domain W3C validator