Theorem normsq 31120

Description: The square of a norm. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normsq	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem normsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
2	1	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
4	3, 3	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
5	2, 4	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))))
6		ifhvhv0 31008	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
7	6	normsqi 31118	. 2 ⊢ ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))
8	5, 7	dedth 4564	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4505  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  2c2 12300  ↑cexp 14084   ℋchba 30905   ·_ih csp 30908  norm_ℎcno 30909  0_ℎc0v 30910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-hv0cl 30989  ax-hvmul0 30996  ax-hfi 31065  ax-his1 31068  ax-his3 31070  ax-his4 31071

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-hnorm 30954

This theorem is referenced by:  pjhthlem1  31377  normcan  31562  unopnorm  31903  lnopunilem1  31996  riesz4i  32049  cnlnadjlem7  32059  nmopcoadji  32087  branmfn  32091  leopnmid  32124  hstoh  32218