HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elspansn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elspansn2 29502
Description: Membership in the span of a singleton. All members are collinear with the generating vector. (Contributed by NM, 5-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elspansn2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))

Proof of Theorem elspansn2
StepHypRef Expression
1 spansn 29494 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (span‘{𝐵}) = (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
21eleq2d 2818 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
323ad2ant2 1135 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4 eleq1 2820 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
6 oveq1 7177 . . . . . . . . 9 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵))
76oveq1d 7185 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
87oveq1d 7185 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
95, 8eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
104, 9bibi12d 349 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))))
1110imbi2d 344 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))) ↔ (𝐵 ≠ 0 → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))))
12 neeq1 2996 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 ≠ 0 ↔ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ≠ 0))
13 sneq 4526 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → {𝐵} = {if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)})
1413fveq2d 6678 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (⊥‘{𝐵}) = (⊥‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)}))
1514fveq2d 6678 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) = (⊥‘(⊥‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)})))
1615eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)}))))
17 oveq2 7178 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
18 oveq1 7177 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih 𝐵))
19 oveq2 7178 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2018, 19eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2117, 20oveq12d 7188 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) / (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
22 id 22 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))
2321, 22oveq12d 7188 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) / (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2423eqeq2d 2749 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) / (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2516, 24bibi12d 349 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)})) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) / (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
2612, 25imbi12d 348 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝐵 ≠ 0 → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ≠ 0 → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)})) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) / (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))
27 ifhvhv0 28957 . . . . 5 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
28 ifhvhv0 28957 . . . . 5 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
2927, 28h1de2bi 29489 . . . 4 (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ≠ 0 → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ (⊥‘(⊥‘{if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)})) ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) / (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
3011, 26, 29dedth2h 4473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))))
31303impia 1118 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
323, 31bitrd 282 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  ifcif 4414  {csn 4516  cfv 6339  (class class class)co 7170   / cdiv 11375  chba 28854   · csm 28856   ·ih csp 28857  0c0v 28859  cort 28865  spancspn 28867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695  ax-hilex 28934  ax-hfvadd 28935  ax-hvcom 28936  ax-hvass 28937  ax-hv0cl 28938  ax-hvaddid 28939  ax-hfvmul 28940  ax-hvmulid 28941  ax-hvmulass 28942  ax-hvdistr1 28943  ax-hvdistr2 28944  ax-hvmul0 28945  ax-hfi 29014  ax-his1 29017  ax-his2 29018  ax-his3 29019  ax-his4 29020  ax-hcompl 29137
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-lm 21980  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cfil 24007  df-cau 24008  df-cmet 24009  df-grpo 28428  df-gid 28429  df-ginv 28430  df-gdiv 28431  df-ablo 28480  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-sm 28532  df-0v 28533  df-vs 28534  df-nmcv 28535  df-ims 28536  df-dip 28636  df-ssp 28657  df-ph 28748  df-cbn 28798  df-hnorm 28903  df-hba 28904  df-hvsub 28906  df-hlim 28907  df-hcau 28908  df-sh 29142  df-ch 29156  df-oc 29187  df-ch0 29188  df-span 29244
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator