Theorem pjss2coi 32183

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjss2coi	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))

Proof of Theorem pjss2coi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjco.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjcoi 32177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
5		2fveq3 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))))
6		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
7	5, 6	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))))
8	7	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))))
9		ifhvhv0 31041	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ∈ ℋ
10	1, 9, 2	pjss2i 31699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
11	8, 10	dedth 4584	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
12	11	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
13	4, 12	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
14	13	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
15	1	pjfi 31723	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
16	2	pjfi 31723	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
17	15, 16	hocofi 31785	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
18	17, 15	hoeqi 31780	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))
19	14, 18	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))
20		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑦))
21	20	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
23	2, 1	pjadjcoi 32180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
24	23	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
25	1	pjadji 31704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
26	25	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
27	22, 24, 26	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))
28	27	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑦 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))))
29	28	ralrimdv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
30	2, 1	pjcohcli 32179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ)
31	1	pjhcli 31437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
32		hial2eq 31125	. . . . . . . 8 ⊢ (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
34	29, 33	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
35	34	com12 32	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
36	35	ralrimiv 3145	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
37	16, 15	hocofi 31785	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
38	37, 15	hoeqi 31780	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
39	36, 38	sylib 218	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
40	1, 2	pjss1coi 32182	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
41	39, 40	sylibr 234	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
42	19, 41	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ifcif 4525   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ℋchba 30938   ·_ih csp 30941  0_ℎc0v 30943   C_ℋ cch 30948  proj_ℎcpjh 30956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-pjh 31414

This theorem is referenced by:  pjidmcoi  32196  pjin2i  32212  pjin3i  32213