HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjss2coi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjss2coi 30951
Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjss2coi (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺))

Proof of Theorem pjss2coi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.1 . . . . . . 7 𝐺C
2 pjco.2 . . . . . . 7 𝐻C
31, 2pjcoi 30945 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)))
43adantl 482 . . . . 5 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)))
5 2fveq3 6844 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))))
6 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → ((proj𝐺)‘𝑥) = ((proj𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)))
75, 6eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → (((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘𝑥) ↔ ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))) = ((proj𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))))
87imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → ((𝐺𝐻 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝐺𝐻 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))) = ((proj𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)))))
9 ifhvhv0 29809 . . . . . . . 8 if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ∈ ℋ
101, 9, 2pjss2i 30467 . . . . . . 7 (𝐺𝐻 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))) = ((proj𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)))
118, 10dedth 4542 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
1211impcom 408 . . . . 5 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘𝑥))
134, 12eqtrd 2776 . . . 4 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥))
1413ralrimiva 3141 . . 3 (𝐺𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥))
151pjfi 30491 . . . . 5 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
162pjfi 30491 . . . . 5 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
1715, 16hocofi 30553 . . . 4 ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
1817, 15hoeqi 30548 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥) ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺))
1914, 18sylib 217 . 2 (𝐺𝐻 → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺))
20 fveq1 6838 . . . . . . . . . . . 12 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = ((proj𝐺)‘𝑦))
2120oveq2d 7367 . . . . . . . . . . 11 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((proj𝐺)‘𝑦)))
2221ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((proj𝐺)‘𝑦)))
232, 1pjadjcoi 30948 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
2423adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
251pjadji 30472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((proj𝐺)‘𝑦)))
2625adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((proj𝐺)‘𝑦)))
2722, 24, 263eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))
2827exp31 420 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (𝑦 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))))
2928ralrimdv 3147 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
302, 1pjcohcli 30947 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ)
311pjhcli 30205 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
32 hial2eq 29893 . . . . . . . 8 (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
3429, 33sylibd 238 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
3534com12 32 . . . . 5 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
3635ralrimiv 3140 . . . 4 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥))
3716, 15hocofi 30553 . . . . 5 ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
3837, 15hoeqi 30548 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥) ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj𝐺))
3936, 38sylib 217 . . 3 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj𝐺))
401, 2pjss1coi 30950 . . 3 (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj𝐺))
4139, 40sylibr 233 . 2 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → 𝐺𝐻)
4219, 41impbii 208 1 (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wss 3908  ifcif 4484  ccom 5635  cfv 6493  (class class class)co 7351  chba 29706   ·ih csp 29709  0c0v 29711   C cch 29716  projcpjh 29724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 29786  ax-hfvadd 29787  ax-hvcom 29788  ax-hvass 29789  ax-hv0cl 29790  ax-hvaddid 29791  ax-hfvmul 29792  ax-hvmulid 29793  ax-hvmulass 29794  ax-hvdistr1 29795  ax-hvdistr2 29796  ax-hvmul0 29797  ax-hfi 29866  ax-his1 29869  ax-his2 29870  ax-his3 29871  ax-his4 29872  ax-hcompl 29989
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-oadd 8408  df-omul 8409  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-acn 9836  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-clim 15324  df-rlim 15325  df-sum 15525  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-hom 17111  df-cco 17112  df-rest 17258  df-topn 17259  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-topgen 17279  df-pt 17280  df-prds 17283  df-xrs 17338  df-qtop 17343  df-imas 17344  df-xps 17346  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-submnd 18556  df-mulg 18826  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-met 20737  df-bl 20738  df-mopn 20739  df-fbas 20740  df-fg 20741  df-cnfld 20744  df-top 22189  df-topon 22206  df-topsp 22228  df-bases 22242  df-cld 22316  df-ntr 22317  df-cls 22318  df-nei 22395  df-cn 22524  df-cnp 22525  df-lm 22526  df-haus 22612  df-tx 22859  df-hmeo 23052  df-fil 23143  df-fm 23235  df-flim 23236  df-flf 23237  df-xms 23619  df-ms 23620  df-tms 23621  df-cfil 24565  df-cau 24566  df-cmet 24567  df-grpo 29280  df-gid 29281  df-ginv 29282  df-gdiv 29283  df-ablo 29332  df-vc 29346  df-nv 29379  df-va 29382  df-ba 29383  df-sm 29384  df-0v 29385  df-vs 29386  df-nmcv 29387  df-ims 29388  df-dip 29488  df-ssp 29509  df-ph 29600  df-cbn 29650  df-hnorm 29755  df-hba 29756  df-hvsub 29758  df-hlim 29759  df-hcau 29760  df-sh 29994  df-ch 30008  df-oc 30039  df-ch0 30040  df-shs 30095  df-pjh 30182
This theorem is referenced by:  pjidmcoi  30964  pjin2i  30980  pjin3i  30981
  Copyright terms: Public domain W3C validator