Theorem pjss2coi 29716

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjss2coi	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))

Proof of Theorem pjss2coi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjco.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjcoi 29710	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
4	3	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
5		2fveq3 6502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))))
6		fveq2 6497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
7	5, 6	eqeq12d 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))))
8	7	imbi2d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))))
9		ifhvhv0 28572	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ∈ ℋ
10	1, 9, 2	pjss2i 29232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
11	8, 10	dedth 4404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
12	11	impcom 399	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
13	4, 12	eqtrd 2811	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
14	13	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
15	1	pjfi 29256	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
16	2	pjfi 29256	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
17	15, 16	hocofi 29318	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
18	17, 15	hoeqi 29313	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))
19	14, 18	sylib 210	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))
20		fveq1 6496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑦))
21	20	oveq2d 6990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
22	21	ad2antlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
23	2, 1	pjadjcoi 29713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
24	23	adantlr 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
25	1	pjadji 29237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
26	25	adantlr 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
27	22, 24, 26	3eqtr4d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))
28	27	exp31 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑦 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))))
29	28	ralrimdv 3135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
30	2, 1	pjcohcli 29712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ)
31	1	pjhcli 28970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
32		hial2eq 28656	. . . . . . . 8 ⊢ (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
33	30, 31, 32	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
34	29, 33	sylibd 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
35	34	com12 32	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
36	35	ralrimiv 3128	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
37	16, 15	hocofi 29318	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
38	37, 15	hoeqi 29313	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
39	36, 38	sylib 210	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
40	1, 2	pjss1coi 29715	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
41	39, 40	sylibr 226	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
42	19, 41	impbii 201	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∀wral 3085   ⊆ wss 3828  ifcif 4348   ∘ ccom 5408  ‘cfv 6186  (class class class)co 6974   ℋchba 28469   ·_ih csp 28472  0_ℎc0v 28474   C_ℋ cch 28479  proj_ℎcpjh 28487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-inf2 8894  ax-cc 9651  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409  ax-addf 10410  ax-mulf 10411  ax-hilex 28549  ax-hfvadd 28550  ax-hvcom 28551  ax-hvass 28552  ax-hv0cl 28553  ax-hvaddid 28554  ax-hfvmul 28555  ax-hvmulid 28556  ax-hvmulass 28557  ax-hvdistr1 28558  ax-hvdistr2 28559  ax-hvmul0 28560  ax-hfi 28629  ax-his1 28632  ax-his2 28633  ax-his3 28634  ax-his4 28635  ax-hcompl 28752

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-iin 4793  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-supp 7631  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-2o 7902  df-oadd 7905  df-omul 7906  df-er 8085  df-map 8204  df-pm 8205  df-ixp 8256  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-fsupp 8625  df-fi 8666  df-sup 8697  df-inf 8698  df-oi 8765  df-card 9158  df-acn 9161  df-cda 9384  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-4 11502  df-5 11503  df-6 11504  df-7 11505  df-8 11506  df-9 11507  df-n0 11705  df-z 11791  df-dec 11909  df-uz 12056  df-q 12160  df-rp 12202  df-xneg 12321  df-xadd 12322  df-xmul 12323  df-ioo 12555  df-ico 12557  df-icc 12558  df-fz 12706  df-fzo 12847  df-fl 12974  df-seq 13182  df-exp 13242  df-hash 13503  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-rlim 14701  df-sum 14898  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-hom 16439  df-cco 16440  df-rest 16546  df-topn 16547  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-topgen 16567  df-pt 16568  df-prds 16571  df-xrs 16625  df-qtop 16630  df-imas 16631  df-xps 16633  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-mulg 18006  df-cntz 18212  df-cmn 18662  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cld 21325  df-ntr 21326  df-cls 21327  df-nei 21404  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-lm 21535  df-haus 21621  df-tx 21868  df-hmeo 22061  df-fil 22152  df-fm 22244  df-flim 22245  df-flf 22246  df-xms 22627  df-ms 22628  df-tms 22629  df-cfil 23555  df-cau 23556  df-cmet 23557  df-grpo 28041  df-gid 28042  df-ginv 28043  df-gdiv 28044  df-ablo 28093  df-vc 28107  df-nv 28140  df-va 28143  df-ba 28144  df-sm 28145  df-0v 28146  df-vs 28147  df-nmcv 28148  df-ims 28149  df-dip 28249  df-ssp 28270  df-ph 28361  df-cbn 28412  df-hnorm 28518  df-hba 28519  df-hvsub 28521  df-hlim 28522  df-hcau 28523  df-sh 28757  df-ch 28771  df-oc 28802  df-ch0 28803  df-shs 28860  df-pjh 28947

This theorem is referenced by:  pjidmcoi  29729  pjin2i  29745  pjin3i  29746