Theorem pjss2coi 32150

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjss2coi	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))

Proof of Theorem pjss2coi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjco.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjcoi 32144	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
5		2fveq3 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))))
6		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
7	5, 6	eqeq12d 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))))
8	7	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))))
9		ifhvhv0 31008	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ∈ ℋ
10	1, 9, 2	pjss2i 31666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
11	8, 10	dedth 4564	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
12	11	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
13	4, 12	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
14	13	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
15	1	pjfi 31690	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
16	2	pjfi 31690	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
17	15, 16	hocofi 31752	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
18	17, 15	hoeqi 31747	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))
19	14, 18	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))
20		fveq1 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑦))
21	20	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
23	2, 1	pjadjcoi 32147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
24	23	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
25	1	pjadji 31671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
26	25	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
27	22, 24, 26	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))
28	27	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑦 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))))
29	28	ralrimdv 3139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
30	2, 1	pjcohcli 32146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ)
31	1	pjhcli 31404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
32		hial2eq 31092	. . . . . . . 8 ⊢ (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
34	29, 33	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
35	34	com12 32	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
36	35	ralrimiv 3132	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
37	16, 15	hocofi 31752	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
38	37, 15	hoeqi 31747	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
39	36, 38	sylib 218	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
40	1, 2	pjss1coi 32149	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
41	39, 40	sylibr 234	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
42	19, 41	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  ifcif 4505   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ℋchba 30905   ·_ih csp 30908  0_ℎc0v 30910   C_ℋ cch 30915  proj_ℎcpjh 30923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cc 10454  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213  ax-mulf 11214  ax-hilex 30985  ax-hfvadd 30986  ax-hvcom 30987  ax-hvass 30988  ax-hv0cl 30989  ax-hvaddid 30990  ax-hfvmul 30991  ax-hvmulid 30992  ax-hvmulass 30993  ax-hvdistr1 30994  ax-hvdistr2 30995  ax-hvmul0 30996  ax-hfi 31065  ax-his1 31068  ax-his2 31069  ax-his3 31070  ax-his4 31071  ax-hcompl 31188

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-lm 23172  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cfil 25212  df-cau 25213  df-cmet 25214  df-grpo 30479  df-gid 30480  df-ginv 30481  df-gdiv 30482  df-ablo 30531  df-vc 30545  df-nv 30578  df-va 30581  df-ba 30582  df-sm 30583  df-0v 30584  df-vs 30585  df-nmcv 30586  df-ims 30587  df-dip 30687  df-ssp 30708  df-ph 30799  df-cbn 30849  df-hnorm 30954  df-hba 30955  df-hvsub 30957  df-hlim 30958  df-hcau 30959  df-sh 31193  df-ch 31207  df-oc 31238  df-ch0 31239  df-shs 31294  df-pjh 31381

This theorem is referenced by:  pjidmcoi  32163  pjin2i  32179  pjin3i  32180