Theorem pjss2coi 32144

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjss2coi	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))

Proof of Theorem pjss2coi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjco.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjcoi 32138	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
5		2fveq3 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))))
6		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
7	5, 6	eqeq12d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))))
8	7	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))))
9		ifhvhv0 31002	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ∈ ℋ
10	1, 9, 2	pjss2i 31660	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ))) = ((projℎ‘𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
11	8, 10	dedth 4531	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
12	11	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
13	4, 12	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
14	13	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
15	1	pjfi 31684	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
16	2	pjfi 31684	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
17	15, 16	hocofi 31746	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
18	17, 15	hoeqi 31741	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))
19	14, 18	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))
20		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑦))
21	20	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
23	2, 1	pjadjcoi 32141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
24	23	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
25	1	pjadji 31665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
26	25	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘𝐺)‘𝑦)))
27	22, 24, 26	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))
28	27	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑦 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))))
29	28	ralrimdv 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
30	2, 1	pjcohcli 32140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ)
31	1	pjhcli 31398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
32		hial2eq 31086	. . . . . . . 8 ⊢ (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
34	29, 33	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
35	34	com12 32	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
36	35	ralrimiv 3123	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
37	16, 15	hocofi 31746	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
38	37, 15	hoeqi 31741	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
39	36, 38	sylib 218	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
40	1, 2	pjss1coi 32143	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
41	39, 40	sylibr 234	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
42	19, 41	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897  ifcif 4472   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ℋchba 30899   ·_ih csp 30902  0_ℎc0v 30904   C_ℋ cch 30909  proj_ℎcpjh 30917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065  ax-hcompl 31182

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-lm 23144  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cfil 25182  df-cau 25183  df-cmet 25184  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-dip 30681  df-ssp 30702  df-ph 30793  df-cbn 30843  df-hnorm 30948  df-hba 30949  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-hcau 30953  df-sh 31187  df-ch 31201  df-oc 31232  df-ch0 31233  df-shs 31288  df-pjh 31375

This theorem is referenced by:  pjidmcoi  32157  pjin2i  32173  pjin3i  32174