HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjss2coi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjss2coi 31148
Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
pjco.2 ๐ป โˆˆ Cโ„‹
Assertion
Ref Expression
pjss2coi (๐บ โŠ† ๐ป โ†” ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ))

Proof of Theorem pjss2coi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.1 . . . . . . 7 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
2 pjco.2 . . . . . . 7 ๐ป โˆˆ Cโ„‹
31, 2pjcoi 31142 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
43adantl 483 . . . . 5 ((๐บ โŠ† ๐ป โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
5 2fveq3 6848 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž))))
6 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)))
75, 6eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž))) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž))))
87imbi2d 341 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โ†’ ((๐บ โŠ† ๐ป โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐บ โŠ† ๐ป โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž))) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)))))
9 ifhvhv0 30006 . . . . . . . 8 if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
101, 9, 2pjss2i 30664 . . . . . . 7 (๐บ โŠ† ๐ป โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž))) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜if(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฅ, 0โ„Ž)))
118, 10dedth 4545 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐บ โŠ† ๐ป โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
1211impcom 409 . . . . 5 ((๐บ โŠ† ๐ป โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜((projโ„Žโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))
134, 12eqtrd 2773 . . . 4 ((๐บ โŠ† ๐ป โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))
1413ralrimiva 3140 . . 3 (๐บ โŠ† ๐ป โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))
151pjfi 30688 . . . . 5 (projโ„Žโ€˜๐บ): โ„‹โŸถ โ„‹
162pjfi 30688 . . . . 5 (projโ„Žโ€˜๐ป): โ„‹โŸถ โ„‹
1715, 16hocofi 30750 . . . 4 ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)): โ„‹โŸถ โ„‹
1817, 15hoeqi 30745 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ))
1914, 18sylib 217 . 2 (๐บ โŠ† ๐ป โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ))
20 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . 12 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))
2120oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)))
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)))
232, 1pjadjcoi 31145 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ)))
2423adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ)))
251pjadji 30669 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)))
2625adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)))
2722, 24, 263eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
2827exp31 421 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
2928ralrimdv 3146 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
302, 1pjcohcli 31144 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
311pjhcli 30402 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
32 hial2eq 30090 . . . . . . . 8 (((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
3330, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
3429, 33sylibd 238 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
3534com12 32 . . . . 5 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
3635ralrimiv 3139 . . . 4 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))
3716, 15hocofi 30750 . . . . 5 ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)): โ„‹โŸถ โ„‹
3837, 15hoeqi 30745 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) = (projโ„Žโ€˜๐บ))
3936, 38sylib 217 . . 3 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) = (projโ„Žโ€˜๐บ))
401, 2pjss1coi 31147 . . 3 (๐บ โŠ† ๐ป โ†” ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) = (projโ„Žโ€˜๐บ))
4139, 40sylibr 233 . 2 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โŠ† ๐ป)
4219, 41impbii 208 1 (๐บ โŠ† ๐ป โ†” ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   โŠ† wss 3911  ifcif 4487   โˆ˜ ccom 5638  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ„‹chba 29903   ยทih csp 29906  0โ„Žc0v 29908   Cโ„‹ cch 29913  projโ„Žcpjh 29921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-pjh 30379
This theorem is referenced by:  pjidmcoi  31161  pjin2i  31177  pjin3i  31178
  Copyright terms: Public domain W3C validator