HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjss2coi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjss2coi 32193
Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjss2coi (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺))

Proof of Theorem pjss2coi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.1 . . . . . . 7 𝐺C
2 pjco.2 . . . . . . 7 𝐻C
31, 2pjcoi 32187 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)))
43adantl 481 . . . . 5 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)))
5 2fveq3 6912 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))))
6 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → ((proj𝐺)‘𝑥) = ((proj𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)))
75, 6eqeq12d 2751 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → (((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘𝑥) ↔ ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))) = ((proj𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))))
87imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → ((𝐺𝐻 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝐺𝐻 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))) = ((proj𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)))))
9 ifhvhv0 31051 . . . . . . . 8 if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ∈ ℋ
101, 9, 2pjss2i 31709 . . . . . . 7 (𝐺𝐻 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0))) = ((proj𝐺)‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)))
118, 10dedth 4589 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
1211impcom 407 . . . . 5 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = ((proj𝐺)‘𝑥))
134, 12eqtrd 2775 . . . 4 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥))
1413ralrimiva 3144 . . 3 (𝐺𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥))
151pjfi 31733 . . . . 5 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
162pjfi 31733 . . . . 5 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
1715, 16hocofi 31795 . . . 4 ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
1817, 15hoeqi 31790 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥) ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺))
1914, 18sylib 218 . 2 (𝐺𝐻 → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺))
20 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . 12 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = ((proj𝐺)‘𝑦))
2120oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((proj𝐺)‘𝑦)))
2221ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((proj𝐺)‘𝑦)))
232, 1pjadjcoi 32190 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
2423adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
251pjadji 31714 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((proj𝐺)‘𝑦)))
2625adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((proj𝐺)‘𝑦)))
2722, 24, 263eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))
2827exp31 419 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (𝑦 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦))))
2928ralrimdv 3150 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
302, 1pjcohcli 32189 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ)
311pjhcli 31447 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
32 hial2eq 31135 . . . . . . . 8 (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
3429, 33sylibd 239 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
3534com12 32 . . . . 5 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥)))
3635ralrimiv 3143 . . . 4 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥))
3716, 15hocofi 31795 . . . . 5 ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
3837, 15hoeqi 31790 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘𝑥) ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj𝐺))
3936, 38sylib 218 . . 3 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj𝐺))
401, 2pjss1coi 32192 . . 3 (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj𝐺))
4139, 40sylibr 234 . 2 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺) → 𝐺𝐻)
4219, 41impbii 209 1 (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  ifcif 4531  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  chba 30948   ·ih csp 30951  0c0v 30953   C cch 30958  projcpjh 30966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-shs 31337  df-pjh 31424
This theorem is referenced by:  pjidmcoi  32206  pjin2i  32222  pjin3i  32223
  Copyright terms: Public domain W3C validator