Theorem pjmuli 30045

Description: Projection of scalar product is scalar product of projection. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjadjt.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjmuli	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)))

Proof of Theorem pjmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7292	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((projℎ‘𝐻)‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)))
2		oveq1 7276	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)))
3	1, 2	eqeq12d 2756	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵))))
4		oveq2 7277	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
5	4	fveq2d 6773	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐻)‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = ((projℎ‘𝐻)‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
6		fveq2 6769	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐵) = ((projℎ‘𝐻)‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
7	6	oveq2d 7285	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
8	5, 7	eqeq12d 2756	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((projℎ‘𝐻)‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))))
9		pjadjt.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
10		ifhvhv0 29378	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
11		0cn 10966	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
12	11	elimel 4534	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
13	9, 10, 12	pjmulii 30033	. 2 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
14	3, 8, 13	dedth2h 4524	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ifcif 4465  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  ℂcc 10868  0cc0 10870   ℋchba 29275   ·_ℎ csm 29277  0_ℎc0v 29280   C_ℋ cch 29285  proj_ℎcpjh 29293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cc 10190  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948  ax-addf 10949  ax-mulf 10950  ax-hilex 29355  ax-hfvadd 29356  ax-hvcom 29357  ax-hvass 29358  ax-hv0cl 29359  ax-hvaddid 29360  ax-hfvmul 29361  ax-hvmulid 29362  ax-hvmulass 29363  ax-hvdistr1 29364  ax-hvdistr2 29365  ax-hvmul0 29366  ax-hfi 29435  ax-his1 29438  ax-his2 29439  ax-his3 29440  ax-his4 29441  ax-hcompl 29558

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-oadd 8290  df-omul 8291  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-ixp 8667  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-fi 9146  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-card 9696  df-acn 9699  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-xneg 12845  df-xadd 12846  df-xmul 12847  df-ioo 13080  df-ico 13082  df-icc 13083  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-rlim 15194  df-sum 15394  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-starv 16973  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-ip 16976  df-tset 16977  df-ple 16978  df-ds 16980  df-unif 16981  df-hom 16982  df-cco 16983  df-rest 17129  df-topn 17130  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-topgen 17150  df-pt 17151  df-prds 17154  df-xrs 17209  df-qtop 17214  df-imas 17215  df-xps 17217  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-acs 17294  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-submnd 18427  df-mulg 18697  df-cntz 18919  df-cmn 19384  df-psmet 20585  df-xmet 20586  df-met 20587  df-bl 20588  df-mopn 20589  df-fbas 20590  df-fg 20591  df-cnfld 20594  df-top 22039  df-topon 22056  df-topsp 22078  df-bases 22092  df-cld 22166  df-ntr 22167  df-cls 22168  df-nei 22245  df-cn 22374  df-cnp 22375  df-lm 22376  df-haus 22462  df-tx 22709  df-hmeo 22902  df-fil 22993  df-fm 23085  df-flim 23086  df-flf 23087  df-xms 23469  df-ms 23470  df-tms 23471  df-cfil 24415  df-cau 24416  df-cmet 24417  df-grpo 28849  df-gid 28850  df-ginv 28851  df-gdiv 28852  df-ablo 28901  df-vc 28915  df-nv 28948  df-va 28951  df-ba 28952  df-sm 28953  df-0v 28954  df-vs 28955  df-nmcv 28956  df-ims 28957  df-dip 29057  df-ssp 29078  df-ph 29169  df-cbn 29219  df-hnorm 29324  df-hba 29325  df-hvsub 29327  df-hlim 29328  df-hcau 29329  df-sh 29563  df-ch 29577  df-oc 29608  df-ch0 29609  df-shs 29664  df-pjh 29751

This theorem is referenced by: (None)