normlem9at - Hilbert Space Explorer

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Theorem normlem9at 29483

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
normlem9at	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

**Proof of Theorem normlem9at**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
2	1, 1	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))
4	3, 3	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐴) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
5	4	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)))
6		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵))
7		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐴) = (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
8	6, 7	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
9	5, 8	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
10	2, 9	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
11		oveq2 7283	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
12	11, 11	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))
14	13, 13	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
15	14	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
16		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
17		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
18	16, 17	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
19	15, 18	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
20	12, 19	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
21		ifhvhv0 29384	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 29384	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
23	21, 22, 21, 22	normlem9 29480	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
24	10, 20, 23	dedth2h 4518	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ifcif 4459 (class class class)co 7275 + caddc 10874 − cmin 11205 ℋchba 29281 ·_ih csp 29284 0_ℎc0v 29286 −_ℎ cmv 29287

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-hfvadd 29362 ax-hv0cl 29365 ax-hfvmul 29367 ax-hfi 29441 ax-his1 29444 ax-his2 29445 ax-his3 29446

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-id 5489 df-po 5503 df-so 5504 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-2 12036 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-hvsub 29333

This theorem is referenced by: unopf1o 30278

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