normlem9at - Hilbert Space Explorer

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Theorem normlem9at 31101

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
normlem9at	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

**Proof of Theorem normlem9at**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
2	1, 1	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))
4	3, 3	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐴) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
5	4	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)))
6		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵))
7		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐴) = (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
8	6, 7	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
9	5, 8	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
10	2, 9	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
11		oveq2 7354	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
12	11, 11	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))
14	13, 13	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
15	14	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
16		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
17		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
18	16, 17	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
19	15, 18	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
20	12, 19	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
21		ifhvhv0 31002	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 31002	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
23	21, 22, 21, 22	normlem9 31098	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
24	10, 20, 23	dedth2h 4532	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ifcif 4472 (class class class)co 7346 + caddc 11009 − cmin 11344 ℋchba 30899 ·_ih csp 30902 0_ℎc0v 30904 −_ℎ cmv 30905

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5301 ax-pr 5368 ax-un 7668 ax-resscn 11063 ax-1cn 11064 ax-icn 11065 ax-addcl 11066 ax-addrcl 11067 ax-mulcl 11068 ax-mulrcl 11069 ax-mulcom 11070 ax-addass 11071 ax-mulass 11072 ax-distr 11073 ax-i2m1 11074 ax-1ne0 11075 ax-1rid 11076 ax-rnegex 11077 ax-rrecex 11078 ax-cnre 11079 ax-pre-lttri 11080 ax-pre-lttrn 11081 ax-pre-ltadd 11082 ax-pre-mulgt0 11083 ax-hfvadd 30980 ax-hv0cl 30983 ax-hfvmul 30985 ax-hfi 31059 ax-his1 31062 ax-his2 31063 ax-his3 31064

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-nul 4281 df-if 4473 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4857 df-iun 4941 df-br 5090 df-opab 5152 df-mpt 5171 df-tr 5197 df-id 5509 df-eprel 5514 df-po 5522 df-so 5523 df-fr 5567 df-we 5569 df-xp 5620 df-rel 5621 df-cnv 5622 df-co 5623 df-dm 5624 df-rn 5625 df-res 5626 df-ima 5627 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-om 7797 df-2nd 7922 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-er 8622 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-pnf 11148 df-mnf 11149 df-xr 11150 df-ltxr 11151 df-le 11152 df-sub 11346 df-neg 11347 df-div 11775 df-nn 12126 df-2 12188 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-hvsub 30951

This theorem is referenced by: unopf1o 31896

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