normlem9at - Hilbert Space Explorer

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Theorem normlem9at 31198

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
normlem9at	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

**Proof of Theorem normlem9at**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
2	1, 1	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))
4	3, 3	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐴) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
5	4	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)))
6		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵))
7		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐴) = (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
8	6, 7	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
9	5, 8	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
10	2, 9	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
11		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
12	11, 11	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))
14	13, 13	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
15	14	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
16		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
17		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
18	16, 17	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
19	15, 18	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
20	12, 19	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
21		ifhvhv0 31099	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 31099	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
23	21, 22, 21, 22	normlem9 31195	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
24	10, 20, 23	dedth2h 4539	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ifcif 4479 (class class class)co 7358 + caddc 11031 − cmin 11366 ℋchba 30996 ·_ih csp 30999 0_ℎc0v 31001 −_ℎ cmv 31002

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-hfvadd 31077 ax-hv0cl 31080 ax-hfvmul 31082 ax-hfi 31156 ax-his1 31159 ax-his2 31160 ax-his3 31161

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-er 8635 df-en 8886 df-dom 8887 df-sdom 8888 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-div 11797 df-nn 12148 df-2 12210 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-hvsub 31048

This theorem is referenced by: unopf1o 31993

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