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Theorem normlem9at 28883
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normlem9at ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))))

Proof of Theorem normlem9at
StepHypRef Expression
1 oveq1 7140 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21, 1oveq12d 7151 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
3 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
43, 3oveq12d 7151 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
54oveq1d 7148 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
6 oveq1 7140 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵))
7 oveq2 7141 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐵 ·ih 𝐴) = (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
86, 7oveq12d 7151 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
95, 8oveq12d 7151 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
102, 9eqeq12d 2836 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))))
11 oveq2 7141 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1211, 11oveq12d 7151 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
13 id 22 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))
1413, 13oveq12d 7151 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1514oveq2d 7149 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
16 oveq2 7141 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
17 oveq1 7140 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1816, 17oveq12d 7151 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
1915, 18oveq12d 7151 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
2012, 19eqeq12d 2836 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))))
21 ifhvhv0 28784 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
22 ifhvhv0 28784 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
2321, 22, 21, 22normlem9 28880 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
2410, 20, 23dedth2h 4500 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  ifcif 4443  (class class class)co 7133   + caddc 10518  cmin 10848  chba 28681   ·ih csp 28684  0c0v 28686   cmv 28687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-hfvadd 28762  ax-hv0cl 28765  ax-hfvmul 28767  ax-hfi 28841  ax-his1 28844  ax-his2 28845  ax-his3 28846
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-2 11679  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-hvsub 28733
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