normlem9at - Hilbert Space Explorer

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Theorem normlem9at 31140

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
normlem9at	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

**Proof of Theorem normlem9at**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
2	1, 1	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))
4	3, 3	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐴) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
5	4	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)))
6		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵))
7		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐴) = (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
8	6, 7	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
9	5, 8	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
10	2, 9	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
11		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
12	11, 11	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))
14	13, 13	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
15	14	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
16		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
17		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
18	16, 17	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
19	15, 18	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
20	12, 19	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
21		ifhvhv0 31041	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 31041	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
23	21, 22, 21, 22	normlem9 31137	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
24	10, 20, 23	dedth2h 4585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ifcif 4525 (class class class)co 7431 + caddc 11158 − cmin 11492 ℋchba 30938 ·_ih csp 30941 0_ℎc0v 30943 −_ℎ cmv 30944

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-hfvadd 31019 ax-hv0cl 31022 ax-hfvmul 31024 ax-hfi 31098 ax-his1 31101 ax-his2 31102 ax-his3 31103

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-id 5578 df-po 5592 df-so 5593 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-2 12329 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-hvsub 30990

This theorem is referenced by: unopf1o 31935

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