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Theorem normlem9at 28503
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normlem9at ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))))

Proof of Theorem normlem9at
StepHypRef Expression
1 oveq1 6885 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21, 1oveq12d 6896 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
3 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
43, 3oveq12d 6896 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
54oveq1d 6893 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
6 oveq1 6885 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵))
7 oveq2 6886 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐵 ·ih 𝐴) = (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
86, 7oveq12d 6896 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
95, 8oveq12d 6896 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
102, 9eqeq12d 2814 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))))
11 oveq2 6886 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1211, 11oveq12d 6896 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
13 id 22 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))
1413, 13oveq12d 6896 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1514oveq2d 6894 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
16 oveq2 6886 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
17 oveq1 6885 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1816, 17oveq12d 6896 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
1915, 18oveq12d 6896 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
2012, 19eqeq12d 2814 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))))
21 ifhvhv0 28404 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
22 ifhvhv0 28404 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
2321, 22, 21, 22normlem9 28500 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
2410, 20, 23dedth2h 4334 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  ifcif 4277  (class class class)co 6878   + caddc 10227  cmin 10556  chba 28301   ·ih csp 28304  0c0v 28306   cmv 28307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-hfvadd 28382  ax-hv0cl 28385  ax-hfvmul 28387  ax-hfi 28461  ax-his1 28464  ax-his2 28465  ax-his3 28466
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-hvsub 28353
This theorem is referenced by:  unopf1o  29300
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