normlem9at - Hilbert Space Explorer

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Theorem normlem9at 30352

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
normlem9at	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

**Proof of Theorem normlem9at**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7411	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵))
2	1, 1	oveq12d 7422	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))
4	3, 3	oveq12d 7422	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐴) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
5	4	oveq1d 7419	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)))
6		oveq1 7411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐴 ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵))
7		oveq2 7412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐴) = (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
8	6, 7	oveq12d 7422	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
9	5, 8	oveq12d 7422	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
10	2, 9	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
11		oveq2 7412	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
12	11, 11	oveq12d 7422	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))
14	13, 13	oveq12d 7422	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
15	14	oveq2d 7420	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))))
16		oveq2 7412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)))
17		oveq1 7411	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))
18	16, 17	oveq12d 7422	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
19	15, 18	oveq12d 7422	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))))
20	12, 19	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))))
21		ifhvhv0 30253	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 30253	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ∈ ℋ
23	21, 22, 21, 22	normlem9 30349	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) ·_ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) −_ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ·_ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0_ℎ) ·_ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ))))
24	10, 20, 23	dedth2h 4586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) + (𝐵 ·_ih 𝐵)) − ((𝐴 ·_ih 𝐵) + (𝐵 ·_ih 𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ifcif 4527 (class class class)co 7404 + caddc 11109 − cmin 11440 ℋchba 30150 ·_ih csp 30153 0_ℎc0v 30155 −_ℎ cmv 30156

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7720 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-hfvadd 30231 ax-hv0cl 30234 ax-hfvmul 30236 ax-hfi 30310 ax-his1 30313 ax-his2 30314 ax-his3 30315

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-2 12271 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-hvsub 30202

This theorem is referenced by: unopf1o 31147

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