HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigorth 31668
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when ๐‘‡ is a Hermitian operator) for two eigenvectors ๐ด and ๐ต to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigorth ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โˆง (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท))) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0))

Proof of Theorem eigorth
StepHypRef Expression
1 fveq2 6902 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
2 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
31, 2eqeq12d 2744 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
43anbi1d 629 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต))))
54anbi1d 629 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท))))
6 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))
71oveq1d 7441 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih ๐ต))
86, 7eqeq12d 2744 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih ๐ต)))
9 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih ๐ต))
109eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih ๐ต) = 0))
118, 10bibi12d 344 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0) โ†” ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih ๐ต) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih ๐ต) = 0)))
125, 11imbi12d 343 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) โ†” ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih ๐ต) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih ๐ต) = 0))))
13 fveq2 6902 . . . . . . 7 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
14 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (๐ท ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
1513, 14eqeq12d 2744 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
1615anbi2d 628 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))))
1716anbi1d 629 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท))))
1813oveq2d 7442 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
19 oveq2 7434 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih ๐ต) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
2018, 19eqeq12d 2744 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih ๐ต) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
21 oveq2 7434 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
2221eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih ๐ต) = 0 โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = 0))
2320, 22bibi12d 344 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih ๐ต) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih ๐ต) = 0) โ†” ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = 0)))
2417, 23imbi12d 343 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih ๐ต) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih ๐ต) = 0)) โ†” ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = 0))))
25 oveq1 7433 . . . . . . 7 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)))
2625eqeq2d 2739 . . . . . 6 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž))))
2726anbi1d 629 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))))
28 neeq1 3000 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท) โ†” if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)))
2927, 28anbi12d 630 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท))))
3029imbi1d 340 . . 3 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (๐ถ ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = 0)) โ†” ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = 0))))
31 oveq1 7433 . . . . . . 7 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))
3231eqeq2d 2739 . . . . . 6 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) โ†” (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))))
3332anbi2d 628 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โ†” ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)))))
34 fveq2 6902 . . . . . 6 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ท) = (โˆ—โ€˜if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0)))
3534neeq2d 2998 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท) โ†” if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))))
3633, 35anbi12d 630 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†” (((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0)))))
3736imbi1d 340 . . 3 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (๐ท ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = 0)) โ†” ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = 0))))
38 ifhvhv0 30852 . . . 4 if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
39 ifhvhv0 30852 . . . 4 if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
40 0cn 11244 . . . . 5 0 โˆˆ โ„‚
4140elimel 4601 . . . 4 if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„‚
4240elimel 4601 . . . 4 if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โˆˆ โ„‚
4338, 39, 41, 42eigorthi 31667 . . 3 ((((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) ยทโ„Ž if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) โˆง (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = (if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) ยทโ„Ž if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) โˆง if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ‰  (โˆ—โ€˜if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih (๐‘‡โ€˜if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž))) = ((๐‘‡โ€˜if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž)) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) โ†” (if(๐ด โˆˆ โ„‹, ๐ด, 0โ„Ž) ยทih if(๐ต โˆˆ โ„‹, ๐ต, 0โ„Ž)) = 0))
4412, 24, 30, 37, 43dedth4h 4593 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0)))
4544imp 405 1 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โˆง (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ถ ยทโ„Ž ๐ด) โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) = (๐ท ยทโ„Ž ๐ต)) โˆง ๐ถ โ‰  (โˆ—โ€˜๐ท))) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  ifcif 4532  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  โˆ—ccj 15083   โ„‹chba 30749   ยทโ„Ž csm 30751   ยทih csp 30752  0โ„Žc0v 30754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-hv0cl 30833  ax-hfvmul 30835  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his3 30914
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-2 12313  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088
This theorem is referenced by:  eighmorth  31794
  Copyright terms: Public domain W3C validator