Theorem infssd 9464

Description: Inequality deduction for infimum of a subset. (Contributed by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssd.0	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
infssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
infssd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
infssd.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
infssd	⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem infssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infssd.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
2		infssd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
3	1, 2	infcl 9459	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
4		infssd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵))
6	1, 2	inflb 9460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
7	5, 6	syld 48	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
8	7	ralrimiv 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))
9		infssd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
10	1, 9	infnlb 9463	. 2 ⊢ (𝜑 → ((inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐶 ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
11	3, 8, 10	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   Or wor 5562  infcinf 9411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-po 5563  df-so 5564  df-cnv 5663  df-iota 6489  df-riota 7370  df-sup 9412  df-inf 9413

This theorem is used by:  xrge0infssd  33232