Theorem infssd 32359

Description: Inequality deduction for infimum of a subset. (Contributed by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssd.0	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
infssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
infssd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
infssd.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
infssd	⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infssd.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
2		infssd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
3	1, 2	infcl 9478	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
4		infssd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵))
6	1, 2	inflb 9479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
7	5, 6	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
8	7	ralrimiv 3137	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))
9		infssd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
10	1, 9	infnlb 9482	. 2 ⊢ (𝜑 → ((inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐶 ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
11	3, 8, 10	mp2and 696	1 ⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5138   Or wor 5577  infcinf 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-po 5578  df-so 5579  df-cnv 5674  df-iota 6485  df-riota 7357  df-sup 9432  df-inf 9433

This theorem is referenced by:  xrge0infssd  32398