Theorem infssd 32505

Description: Inequality deduction for infimum of a subset. (Contributed by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssd.0	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
infssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
infssd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
infssd.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
infssd	⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infssd.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
2		infssd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
3	1, 2	infcl 9512	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
4		infssd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵))
6	1, 2	inflb 9513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
7	5, 6	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
8	7	ralrimiv 3142	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))
9		infssd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
10	1, 9	infnlb 9516	. 2 ⊢ (𝜑 → ((inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐶 ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
11	3, 8, 10	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148   Or wor 5589  infcinf 9465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5590  df-so 5591  df-cnv 5686  df-iota 6500  df-riota 7376  df-sup 9466  df-inf 9467

This theorem is referenced by:  xrge0infssd  32544