Theorem infssd 32728

Description: Inequality deduction for infimum of a subset. (Contributed by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssd.0	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
infssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
infssd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
infssd.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
infssd	⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infssd.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
2		infssd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
3	1, 2	infcl 9526	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
4		infssd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵))
6	1, 2	inflb 9527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
7	5, 6	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
8	7	ralrimiv 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))
9		infssd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
10	1, 9	infnlb 9530	. 2 ⊢ (𝜑 → ((inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐶 ¬ 𝑧𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
11	3, 8, 10	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)𝑅inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   Or wor 5596  infcinf 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5597  df-so 5598  df-cnv 5697  df-iota 6516  df-riota 7388  df-sup 9480  df-inf 9481

This theorem is referenced by:  xrge0infssd  32772