Theorem imafi2 32641

Description: The image by a finite set is finite. See also imafi 9270. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
imafi2	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5653	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) = ran (𝐴 ↾ 𝐵)
2		resss 5974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
3		ssfi 9142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
5		rnfi 9297	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  ran crn 5641   ↾ cres 5642   “ cima 5643  Fincfn 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-1o 8436  df-en 8921  df-dom 8922  df-fin 8924

This theorem is referenced by:  gsummpt2d  32995  gsumfs2d  33001  gsumhashmul  33007  esum2d  34089