Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imafi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imafi2 31054
Description: The image by a finite set is finite. See also imafi 8945. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
imafi2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi2
StepHypRef Expression
1 df-ima 5597 . 2 (𝐴𝐵) = ran (𝐴𝐵)
2 resss 5909 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
3 ssfi 8943 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
42, 3mpan2 688 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5 rnfi 9089 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → ran (𝐴𝐵) ∈ Fin)
64, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ran (𝐴𝐵) ∈ Fin)
71, 6eqeltrid 2843 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3886  ran crn 5585  cres 5586  cima 5587  Fincfn 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-1o 8284  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-fin 8724
This theorem is referenced by:  gsummpt2d  31317  gsumhashmul  31324  esum2d  32069
  Copyright terms: Public domain W3C validator