Theorem imafi2 32642

Description: The image by a finite set is finite. See also imafi 9271. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
imafi2	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5654	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) = ran (𝐴 ↾ 𝐵)
2		resss 5975	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
3		ssfi 9143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
5		rnfi 9298	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ran crn 5642   ↾ cres 5643   “ cima 5644  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  gsummpt2d  32996  gsumfs2d  33002  gsumhashmul  33008  esum2d  34090