Theorem imafi2 32608

Description: The image by a finite set is finite. See also imafi 9240. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
imafi2	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5644	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) = ran (𝐴 ↾ 𝐵)
2		resss 5961	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
3		ssfi 9114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
5		rnfi 9267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ran crn 5632   ↾ cres 5633   “ cima 5634  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  gsummpt2d  32962  gsumfs2d  32968  gsumhashmul  32974  esum2d  34056