Theorem imafi2 9328

Description: The image by a finite set is finite. See also imafi 9285. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
imafi2	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5668	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) = ran (𝐴 ↾ 𝐵)
2		resss 5994	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
3		ssfi 9167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
5		rnfi 9307	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8455  df-en 8953  df-dom 8954  df-fin 8956

This theorem is used by:  gsummpt2d  33489  gsumfs2d  33501  gsumhashmul  33507  esum2d  34603