Theorem initoo 18189

Description: An initial object is an object. (Contributed by AV, 14-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
initoo	⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑂 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)))

Proof of Theorem initoo

Dummy variables 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
3		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	isinitoi 18181	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (InitO‘𝐶)) → (𝑂 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑂(Hom ‘𝐶)𝑏)))
5	4	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (InitO‘𝐶)) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶))
6	5	ex 418	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑂 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∃!weu 2593  ∀wral 3076  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  Hom chom 17446  Catccat 17845  InitOcinito 18163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7425  df-inito 18166

This theorem is used by:  iszeroi  18191  2initoinv  18192  initoeu1w  18194