MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  initoeu1w Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem initoeu1w 17974
Description: Initial objects are essentially unique (weak form), i.e. if A and B are initial objects, then A and B are isomorphic. Proposition 7.3 (1) of [Adamek] p. 102. (Contributed by AV, 6-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
initoeu1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
initoeu1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
initoeu1w (πœ‘ β†’ 𝐴( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝐡)

Proof of Theorem initoeu1w
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 initoeu1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2 initoeu1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
3 initoeu1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
41, 2, 3initoeu1 17973 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
5 euex 2565 . . 3 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
64, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
7 eqid 2726 . . 3 (Isoβ€˜πΆ) = (Isoβ€˜πΆ)
8 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
9 initoo 17969 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
101, 2, 9sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
11 initoo 17969 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
121, 3, 11sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
137, 8, 1, 10, 12cic 17755 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝐡 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
146, 13mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐴( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2556   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Catccat 17617  Isociso 17702   ≃𝑐 ccic 17751  InitOcinito 17943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-cat 17621  df-cid 17622  df-sect 17703  df-inv 17704  df-iso 17705  df-cic 17752  df-inito 17946
This theorem is referenced by:  nzerooringczr  21367
  Copyright terms: Public domain W3C validator