MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftermo3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftermo3 18000
Description: An alternate definition of df-termo 17979 depending on df-inito 17978, without dummy variables. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
dftermo3 TermO = (InitO ∘ (oppCat ↾ Cat))

Proof of Theorem dftermo3
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvres 6919 . . . 4 (𝑐 ∈ Cat → ((oppCat ↾ Cat)‘𝑐) = (oppCat‘𝑐))
21fveq2d 6904 . . 3 (𝑐 ∈ Cat → (InitO‘((oppCat ↾ Cat)‘𝑐)) = (InitO‘(oppCat‘𝑐)))
32mpteq2ia 5253 . 2 (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘((oppCat ↾ Cat)‘𝑐))) = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐)))
4 initofn 17981 . . . 4 InitO Fn Cat
5 dffn2 6727 . . . 4 (InitO Fn Cat ↔ InitO:Cat⟶V)
64, 5mpbi 229 . . 3 InitO:Cat⟶V
7 oppccatf 17715 . . 3 (oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat
8 fcompt 7146 . . 3 ((InitO:Cat⟶V ∧ (oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat) → (InitO ∘ (oppCat ↾ Cat)) = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘((oppCat ↾ Cat)‘𝑐))))
96, 7, 8mp2an 690 . 2 (InitO ∘ (oppCat ↾ Cat)) = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘((oppCat ↾ Cat)‘𝑐)))
10 dftermo2 17998 . 2 TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐)))
113, 9, 103eqtr4ri 2766 1 TermO = (InitO ∘ (oppCat ↾ Cat))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3471  cmpt 5233  cres 5682  ccom 5684   Fn wfn 6546  wf 6547  cfv 6551  Catccat 17649  oppCatcoppc 17696  InitOcinito 17975  TermOctermo 17976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-hom 17262  df-cco 17263  df-cat 17653  df-cid 17654  df-oppc 17697  df-inito 17978  df-termo 17979
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator