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Theorem 2initoinv 17960
Description: Morphisms between two initial objects are inverses. (Contributed by AV, 14-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
initoeu1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
initoeu1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
2initoinv ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐹(𝐴(Invβ€˜πΆ)𝐡)𝐺)

Proof of Theorem 2initoinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2733 . . . . 5 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2733 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 initoeu1.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
543ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 initoeu1.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
7 initoo 17957 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
84, 6, 7sylc 65 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
983ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
10 initoeu1.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
11 initoo 17957 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
124, 10, 11sylc 65 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
13123ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
14 simp3 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
15 simp2 1138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴))
161, 2, 3, 5, 9, 13, 9, 14, 15catcocl 17629 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩(compβ€˜πΆ)𝐴)𝐹) ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐴))
171, 2, 4initoid 17951 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐴) = {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΄)})
186, 17mpdan 686 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐴) = {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΄)})
19183ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐴) = {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΄)})
2019eleq2d 2820 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩(compβ€˜πΆ)𝐴)𝐹) ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐴) ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩(compβ€˜πΆ)𝐴)𝐹) ∈ {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΄)}))
21 elsni 4646 . . . . 5 ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩(compβ€˜πΆ)𝐴)𝐹) ∈ {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΄)} β†’ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩(compβ€˜πΆ)𝐴)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π΄))
2220, 21syl6bi 253 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩(compβ€˜πΆ)𝐴)𝐹) ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐴) β†’ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩(compβ€˜πΆ)𝐴)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π΄)))
2316, 22mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩(compβ€˜πΆ)𝐴)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π΄))
24 eqid 2733 . . . 4 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
25 eqid 2733 . . . 4 (Sectβ€˜πΆ) = (Sectβ€˜πΆ)
261, 2, 3, 24, 25, 5, 9, 13, 14, 15issect2 17701 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ (𝐹(𝐴(Sectβ€˜πΆ)𝐡)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩(compβ€˜πΆ)𝐴)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π΄)))
2723, 26mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐹(𝐴(Sectβ€˜πΆ)𝐡)𝐺)
281, 2, 3, 5, 13, 9, 13, 15, 14catcocl 17629 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩(compβ€˜πΆ)𝐡)𝐺) ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐡))
291, 2, 4initoid 17951 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐡) = {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΅)})
3010, 29mpdan 686 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐡) = {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΅)})
31303ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐡) = {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΅)})
3231eleq2d 2820 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩(compβ€˜πΆ)𝐡)𝐺) ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐡) ↔ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩(compβ€˜πΆ)𝐡)𝐺) ∈ {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΅)}))
33 elsni 4646 . . . . 5 ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩(compβ€˜πΆ)𝐡)𝐺) ∈ {((Idβ€˜πΆ)β€˜π΅)} β†’ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩(compβ€˜πΆ)𝐡)𝐺) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π΅))
3432, 33syl6bi 253 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩(compβ€˜πΆ)𝐡)𝐺) ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩(compβ€˜πΆ)𝐡)𝐺) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π΅)))
3528, 34mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩(compβ€˜πΆ)𝐡)𝐺) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π΅))
361, 2, 3, 24, 25, 5, 13, 9, 15, 14issect2 17701 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ (𝐺(𝐡(Sectβ€˜πΆ)𝐴)𝐹 ↔ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩(compβ€˜πΆ)𝐡)𝐺) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π΅)))
3735, 36mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐺(𝐡(Sectβ€˜πΆ)𝐴)𝐹)
38 eqid 2733 . . . 4 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
391, 38, 4, 8, 12, 25isinv 17707 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐴(Invβ€˜πΆ)𝐡)𝐺 ↔ (𝐹(𝐴(Sectβ€˜πΆ)𝐡)𝐺 ∧ 𝐺(𝐡(Sectβ€˜πΆ)𝐴)𝐹)))
40393ad2ant1 1134 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ (𝐹(𝐴(Invβ€˜πΆ)𝐡)𝐺 ↔ (𝐹(𝐴(Sectβ€˜πΆ)𝐡)𝐺 ∧ 𝐺(𝐡(Sectβ€˜πΆ)𝐴)𝐹)))
4127, 37, 40mpbir2and 712 1 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐹(𝐴(Invβ€˜πΆ)𝐡)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Idccid 17609  Sectcsect 17691  Invcinv 17692  InitOcinito 17931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-cat 17612  df-cid 17613  df-sect 17694  df-inv 17695  df-inito 17934
This theorem is referenced by:  initoeu1  17961
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