Theorem iocleubd 46010

Description: An element of a left-open right-closed interval is smaller than or equal to its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocleubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocleubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iocleubd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iocleubd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem iocleubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocleubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iocleubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iocleubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
4		iocleub 45955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178  (,]cioc 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-xr 11181  df-ioc 13301

This theorem is referenced by:  preimaiocmnf  46012  smfsuplem1  47261