Theorem iocleubd 46388

Description: An element of a left-open right-closed interval is smaller than or equal to its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocleubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocleubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iocleubd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iocleubd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem iocleubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocleubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iocleubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iocleubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
4		iocleub 46333	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268  (,]cioc 13399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-xr 11271  df-ioc 13403

This theorem is used by:  preimaiocmnf  46390  fourierdlem48  46982  fourierdlem49  46983  smfsuplem1  47639