Theorem iocleubd 46843

Description: An element of a left-open right-closed interval is smaller than or equal to its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocleubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocleubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iocleubd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iocleubd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem iocleubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocleubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iocleubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iocleubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
4		iocleub 46788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  (,]cioc 13517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-xr 11386  df-ioc 13521

This theorem is used by:  preimaiocmnf  46845  fourierdlem48  47437  fourierdlem49  47438  smfsuplem1  48094