Theorem icogelbd 44258

Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
icogelbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
icogelbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icogelbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
icogelbd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem icogelbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icogelbd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		icogelbd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		icogelbd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4		icogelb 13372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  ℝ^*cxr 11244   ≤ cle 11246  [,)cico 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-xr 11249  df-ico 13327

This theorem is referenced by:  uzinico  44260  limsupresico  44403  limsupmnflem  44423  liminfresico  44474  liminflelimsuplem  44478  smfliminflem  45533