Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icogelbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icogelbd 43145
Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
icogelbd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
icogelbd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
icogelbd.3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
icogelbd (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem icogelbd
StepHypRef Expression
1 icogelbd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 icogelbd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 icogelbd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4 icogelb 13176 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
51, 2, 3, 4syl3anc 1371 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  *cxr 11054  cle 11056  [,)cico 13127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-xr 11059  df-ico 13131
This theorem is referenced by:  uzinico  43147  limsupresico  43290  limsupmnflem  43310  liminfresico  43361  liminflelimsuplem  43365  smfliminflem  44417
  Copyright terms: Public domain W3C validator