Theorem icogelbd 45511

Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
icogelbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
icogelbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icogelbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
icogelbd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem icogelbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icogelbd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		icogelbd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		icogelbd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4		icogelb 13435	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  [,)cico 13386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-xr 11297  df-ico 13390

This theorem is referenced by:  uzinico  45513  limsupresico  45656  limsupmnflem  45676  liminfresico  45727  liminflelimsuplem  45731  smfliminflem  46786