Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icogelbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icogelbd 42771
Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
icogelbd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
icogelbd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
icogelbd.3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
icogelbd (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem icogelbd
StepHypRef Expression
1 icogelbd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 icogelbd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 icogelbd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4 icogelb 12986 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
51, 2, 3, 4syl3anc 1373 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  *cxr 10866  cle 10868  [,)cico 12937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-xr 10871  df-ico 12941
This theorem is referenced by:  uzinico  42773  limsupresico  42916  limsupmnflem  42936  liminfresico  42987  liminflelimsuplem  42991  smfliminflem  44035
  Copyright terms: Public domain W3C validator