Theorem icogelbd 13528

Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
icogelbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
icogelbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icogelbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
icogelbd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem icogelbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icogelbd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		icogelbd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		icogelbd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4		icogelb 13527	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11342   ≤ cle 11344  [,)cico 13478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-xr 11347  df-ico 13482

This theorem is used by:  uzinico  46570  limsupresico  46709  limsupmnflem  46729  liminfresico  46780  liminflelimsuplem  46784  fourierdlem48  47163  smfliminflem  47839  rehalfge1  48408