Theorem icogelbd 13344

Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
icogelbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
icogelbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icogelbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
icogelbd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem icogelbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icogelbd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		icogelbd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		icogelbd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4		icogelb 13343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝ^*cxr 11172   ≤ cle 11174  [,)cico 13294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-xr 11177  df-ico 13298

This theorem is referenced by:  uzinico  46010  limsupresico  46149  limsupmnflem  46169  liminfresico  46220  liminflelimsuplem  46224  smfliminflem  47279  rehalfge1  47802