Theorem iocleub 46252

Description: An element of a left-open right-closed interval is smaller than or equal to its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iocleub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem iocleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioc1 13425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵))
4	3	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  (,]cioc 13384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-xr 11258  df-ioc 13388

This theorem is used by:  iocopn  46269  iccdificc  46288  iocleubd  46307  limcresiooub  46389  fourierdlem19  46873  fourierdlem35  46889  fourierdlem41  46895  fourierdlem46  46899  fourierswlem  46977  fouriersw  46978  pimdecfgtioc  47462  pimincfltioc  47463