Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico 44263
Description: An upper interval of integers is the intersection of the integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uzinico.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzinico.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzinico (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinico.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
21eluzelz2 44103 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4 uzinico.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54zred 12665 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
65rexrd 11263 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
8 pnfxr 11267 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
10 zssre 12564 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
11 ressxr 11257 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
1210, 11sstri 3991 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ*
1312, 2sselid 3980 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ*)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ*)
151eleq2i 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1615biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzle 12834 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑀𝑘)
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀𝑘)
2010, 2sselid 3980 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ)
2120ltpnfd 13100 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 < +∞)
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 < +∞)
237, 9, 14, 19, 22elicod 13373 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
243, 23elind 4194 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
2524ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
264adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ∈ ℤ)
27 elinel1 4195 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2827adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
316adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
328a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
33 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
3431, 32, 33icogelbd 44261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑘)
3530, 34syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀𝑘)
361, 26, 28, 35eluzd 44109 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘𝑍)
3736ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘𝑍))
3825, 37impbid 211 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
3938alrimiv 1930 . 2 (𝜑 → ∀𝑘(𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
40 dfcleq 2725 . 2 (𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ ∀𝑘(𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
4139, 40sylibr 233 1 (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3947   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  cr 11108  +∞cpnf 11244  *cxr 11246   < clt 11247  cle 11248  cz 12557  cuz 12821  [,)cico 13325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-pnf 11249  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-neg 11446  df-z 12558  df-uz 12822  df-ico 13329
This theorem is referenced by:  uzinico2  44265  limsupresuz  44409  liminfresuz  44490
  Copyright terms: Public domain W3C validator