Theorem uzinico 42608

Description: An upper interval of integers is the intersection of the integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzinico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzinico.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzinico	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinico.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 42451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
3	2	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4		uzinico.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	zred 12139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 10742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 10746	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
10		zssre 12040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11		ressxr 10736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
12	10, 11	sstri 3903	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
13	12, 2	sseldi 3892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ*)
14	13	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ*)
15	1	eleq2i 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		eluzle 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑘)
19	18	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
20	10, 2	sseldi 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ)
21	20	ltpnfd 12570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 < +∞)
22	21	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 < +∞)
23	7, 9, 14, 19, 22	elicod 12842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
24	3, 23	elind 4101	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
25	24	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
26	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ∈ ℤ)
27		elinel1 4102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℤ)
28	27	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29		elinel2 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
30	29	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
31	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
32	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
33		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
34	31, 32, 33	icogelbd 42606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
35	30, 34	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ≤ 𝑘)
36	1, 26, 28, 35	eluzd 42457	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	36	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ 𝑍))
38	25, 37	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
39	38	alrimiv 1928	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
40		dfcleq 2751	. 2 ⊢ (𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
41	39, 40	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  +∞cpnf 10723  ℝ^*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727  ℤcz 12033  ℤ_≥cuz 12295  [,)cico 12794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-fv 6348  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-pnf 10728  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-neg 10924  df-z 12034  df-uz 12296  df-ico 12798

This theorem is referenced by:  uzinico2  42610  limsupresuz  42756  liminfresuz  42837