Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico 45573
Description: An upper interval of integers is the intersection of the integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uzinico.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzinico.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzinico (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinico.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
21eluzelz2 45414 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4 uzinico.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54zred 12722 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
65rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
8 pnfxr 11315 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
10 zssre 12620 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
11 ressxr 11305 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
1210, 11sstri 3993 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ*
1312, 2sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ*)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ*)
151eleq2i 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1615biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzle 12891 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑀𝑘)
1918adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀𝑘)
2010, 2sselid 3981 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ)
2120ltpnfd 13163 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 < +∞)
2221adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 < +∞)
237, 9, 14, 19, 22elicod 13437 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
243, 23elind 4200 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
2524ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
264adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ∈ ℤ)
27 elinel1 4201 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2827adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29 elinel2 4202 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
316adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
328a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
33 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
3431, 32, 33icogelbd 45571 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑘)
3530, 34syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀𝑘)
361, 26, 28, 35eluzd 45420 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘𝑍)
3736ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘𝑍))
3825, 37impbid 212 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
3938alrimiv 1927 . 2 (𝜑 → ∀𝑘(𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
40 dfcleq 2730 . 2 (𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ ∀𝑘(𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
4139, 40sylibr 234 1 (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  [,)cico 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pnf 11297  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-ico 13393
This theorem is referenced by:  uzinico2  45575  limsupresuz  45718  liminfresuz  45799
  Copyright terms: Public domain W3C validator