Theorem uzinico 45573

Description: An upper interval of integers is the intersection of the integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzinico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzinico.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzinico	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinico.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 45414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4		uzinico.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	zred 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11315	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
10		zssre 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11		ressxr 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
12	10, 11	sstri 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
13	12, 2	sselid 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ*)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ*)
15	1	eleq2i 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		eluzle 12891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑘)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
20	10, 2	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ)
21	20	ltpnfd 13163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 < +∞)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 < +∞)
23	7, 9, 14, 19, 22	elicod 13437	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
24	3, 23	elind 4200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
26	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ∈ ℤ)
27		elinel1 4201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℤ)
28	27	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29		elinel2 4202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
31	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
32	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
34	31, 32, 33	icogelbd 45571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
35	30, 34	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ≤ 𝑘)
36	1, 26, 28, 35	eluzd 45420	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ 𝑍))
38	25, 37	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
39	38	alrimiv 1927	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
40		dfcleq 2730	. 2 ⊢ (𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
41	39, 40	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  [,)cico 13389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pnf 11297  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-ico 13393

This theorem is referenced by:  uzinico2  45575  limsupresuz  45718  liminfresuz  45799