Theorem uzinico 46223

Description: An upper interval of integers is the intersection of the integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzinico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzinico.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzinico	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinico.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 46065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
3	2	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4		uzinico.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	zred 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11262	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
10		zssre 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11		ressxr 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
12	10, 11	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
13	12, 2	sselid 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ*)
14	13	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ*)
15	1	eleq2i 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		eluzle 12874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑘)
19	18	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
20	10, 2	sselid 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ)
21	20	ltpnfd 13145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 < +∞)
22	21	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 < +∞)
23	7, 9, 14, 19, 22	elicod 13421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
24	3, 23	elind 4152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
25	24	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
26	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ∈ ℤ)
27		elinel1 4153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℤ)
28	27	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29		elinel2 4154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
30	29	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
31	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
32	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
33		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
34	31, 32, 33	icogelbd 13423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
35	30, 34	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ≤ 𝑘)
36	1, 26, 28, 35	eluzd 46071	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	36	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ 𝑍))
38	25, 37	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
39	38	alrimiv 1955	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
40		dfcleq 2754	. 2 ⊢ (𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
41	39, 40	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1566   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  [,)cico 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-pnf 11244  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-neg 11443  df-z 12591  df-uz 12862  df-ico 13377

This theorem is referenced by:  uzinico2  46225  limsupresuz  46365  liminfresuz  46446