Theorem uzinico 45478

Description: An upper interval of integers is the intersection of the integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzinico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzinico.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzinico	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinico.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 45318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4		uzinico.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	zred 12747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11344	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
10		zssre 12646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11		ressxr 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
12	10, 11	sstri 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
13	12, 2	sselid 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ*)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ*)
15	1	eleq2i 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		eluzle 12916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑘)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
20	10, 2	sselid 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ)
21	20	ltpnfd 13184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 < +∞)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 < +∞)
23	7, 9, 14, 19, 22	elicod 13457	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
24	3, 23	elind 4223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
26	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ∈ ℤ)
27		elinel1 4224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℤ)
28	27	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29		elinel2 4225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
31	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
32	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
34	31, 32, 33	icogelbd 45476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
35	30, 34	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ≤ 𝑘)
36	1, 26, 28, 35	eluzd 45324	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ 𝑍))
38	25, 37	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
39	38	alrimiv 1926	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
40		dfcleq 2733	. 2 ⊢ (𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
41	39, 40	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  [,)cico 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-pnf 11326  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-ico 13413

This theorem is referenced by:  uzinico2  45480  limsupresuz  45624  liminfresuz  45705