Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico 41698
Description: An upper interval of integers is the intersection of the integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uzinico.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzinico.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzinico (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinico.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
21eluzelz2 41538 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4 uzinico.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54zred 12079 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
65rexrd 10683 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
8 pnfxr 10687 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
10 zssre 11980 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
11 ressxr 10677 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
1210, 11sstri 3979 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ*
1312, 2sseldi 3968 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ*)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ*)
151eleq2i 2908 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1615biimpi 217 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzle 12248 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑀𝑘)
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀𝑘)
2010, 2sseldi 3968 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ)
2120ltpnfd 12509 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 < +∞)
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 < +∞)
237, 9, 14, 19, 22elicod 12780 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
243, 23elind 4174 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
2524ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
264adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ∈ ℤ)
27 elinel1 4175 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2827adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29 elinel2 4176 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
316adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
328a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
33 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
3431, 32, 33icogelbd 41696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑘)
3530, 34syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀𝑘)
361, 26, 28, 35eluzd 41544 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘𝑍)
3736ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘𝑍))
3825, 37impbid 213 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
3938alrimiv 1921 . 2 (𝜑 → ∀𝑘(𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
40 dfcleq 2818 . 2 (𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ ∀𝑘(𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
4139, 40sylibr 235 1 (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1528   = wceq 1530  wcel 2106  cin 3938   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cz 11973  cuz 12235  [,)cico 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-pnf 10669  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-neg 10865  df-z 11974  df-uz 12236  df-ico 12737
This theorem is referenced by:  uzinico2  41700  limsupresuz  41846  liminfresuz  41927
  Copyright terms: Public domain W3C validator