Theorem uzinico 46614

Description: An upper interval of integers is the intersection of the integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzinico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzinico.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzinico	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinico.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 46456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4		uzinico.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	zred 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11363	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
10		zssre 12700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11		ressxr 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
12	10, 11	sstri 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
13	12, 2	sselid 3906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ*)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ*)
15	1	eleq2i 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		eluzle 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑘)
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
20	10, 2	sselid 3906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ)
21	20	ltpnfd 13250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 < +∞)
22	21	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 < +∞)
23	7, 9, 14, 19, 22	elicod 13526	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
24	3, 23	elind 4097	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
25	24	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
26	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ∈ ℤ)
27		elinel1 4098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℤ)
28	27	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29		elinel2 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
30	29	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
31	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
32	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
33		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
34	31, 32, 33	icogelbd 13528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
35	30, 34	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ≤ 𝑘)
36	1, 26, 28, 35	eluzd 46462	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	36	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ 𝑍))
38	25, 37	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
39	38	alrimiv 1959	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
40		dfcleq 2753	. 2 ⊢ (𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
41	39, 40	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  [,)cico 13478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-pnf 11345  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966  df-ico 13482

This theorem is used by:  uzinico2  46616  limsupresuz  46756  liminfresuz  46837