Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaiocmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaiocmnf 40268
Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaiocmnf.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaiocmnf.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaiocmnf (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaiocmnf
StepHypRef Expression
1 preimaiocmnf.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffnd 6257 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 6561 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
5 mnfxr 10381 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaiocmnf.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
87adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9 simpr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
106, 8, 9iocleubd 40266 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵)
1110ex 399 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵))
1211adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵))
135a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
147adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantlr 697 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
161ffvelrnda 6581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1716rexrd 10374 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1817adantr 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1916mnfltd 12174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < (𝐹𝑥))
2019adantr 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹𝑥))
21 simpr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵)
2213, 15, 18, 20, 21eliocd 40214 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
2322ex 399 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≤ 𝐵 → (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)))
2412, 23impbid 203 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵))
2524rabbidva 3378 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵})
264, 25eqtrd 2840 1 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  {crab 3100   class class class wbr 4844  ccnv 5310  cima 5314   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  cr 10220  -∞cmnf 10357  *cxr 10358   < clt 10359  cle 10360  (,]cioc 12394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-ioc 12398
This theorem is referenced by:  issmfle2d  41497
  Copyright terms: Public domain W3C validator