Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaiocmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaiocmnf 43806
Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaiocmnf.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
preimaiocmnf.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaiocmnf (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem preimaiocmnf
StepHypRef Expression
1 preimaiocmnf.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
21ffnd 6670 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 7012 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)})
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)})
5 mnfxr 11213 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaiocmnf.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
87adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
9 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡))
106, 8, 9iocleubd 43804 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡)
1110ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡))
1211adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡))
135a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
147adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1514adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
161ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1716rexrd 11206 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1817adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1916mnfltd 13046 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯))
2019adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯))
21 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡)
2213, 15, 18, 20, 21eliocd 43752 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡))
2322ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)))
2412, 23impbid 211 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡))
2524rabbidva 3415 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡})
264, 25eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11051  -∞cmnf 11188  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  (,]cioc 13266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-ioc 13270
This theorem is referenced by:  issmfle2d  45057
  Copyright terms: Public domain W3C validator