Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaiocmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaiocmnf 41991
 Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaiocmnf.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaiocmnf.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaiocmnf (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaiocmnf
StepHypRef Expression
1 preimaiocmnf.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffnd 6488 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 6804 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
5 mnfxr 10675 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaiocmnf.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
87adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
106, 8, 9iocleubd 41989 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵)
1110ex 416 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵))
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵))
135a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
147adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
161ffvelrnda 6824 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1716rexrd 10668 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1817adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1916mnfltd 12497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < (𝐹𝑥))
2019adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹𝑥))
21 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵)
2213, 15, 18, 20, 21eliocd 41937 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
2322ex 416 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≤ 𝐵 → (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)))
2412, 23impbid 215 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵))
2524rabbidva 3455 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵})
264, 25eqtrd 2856 1 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3130   class class class wbr 5039  ◡ccnv 5527   “ cima 5531   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℝcr 10513  -∞cmnf 10650  ℝ*cxr 10651   < clt 10652   ≤ cle 10653  (,]cioc 12717 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-ioc 12721 This theorem is referenced by:  issmfle2d  43233
 Copyright terms: Public domain W3C validator