Theorem preimaiocmnf 45748

Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaiocmnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaiocmnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaiocmnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaiocmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaiocmnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6661	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fncnvima2 7004	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
5		mnfxr 11187	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7		preimaiocmnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
10	6, 8, 9	iocleubd 45746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
11	10	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
13	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
14	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	16	mnfltd 13036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
22	13, 15, 18, 20, 21	eliocd 45695	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵 → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)))
24	12, 23	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
25	24	rabbidva 3403	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})
26	4, 25	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  (,]cioc 13260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-ioc 13264

This theorem is referenced by:  issmfle2d  46995