Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaiocmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaiocmnf 45005
Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaiocmnf.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
preimaiocmnf.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaiocmnf (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem preimaiocmnf
StepHypRef Expression
1 preimaiocmnf.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
21ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 7063 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)})
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)})
5 mnfxr 11296 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaiocmnf.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
87adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
9 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡))
106, 8, 9iocleubd 45003 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡)
1110ex 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡))
1211adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡))
135a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
147adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1514adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
161ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1716rexrd 11289 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1817adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1916mnfltd 13131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯))
2019adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯))
21 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡)
2213, 15, 18, 20, 21eliocd 44951 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡))
2322ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)))
2412, 23impbid 211 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡))
2524rabbidva 3426 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐡)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡})
264, 25eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   class class class wbr 5144  β—‘ccnv 5672   β€œ cima 5676   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  -∞cmnf 11271  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  (,]cioc 13352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-ioc 13356
This theorem is referenced by:  issmfle2d  46256
  Copyright terms: Public domain W3C validator