Theorem preimaiocmnf 43099

Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaiocmnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaiocmnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaiocmnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaiocmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaiocmnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fncnvima2 6938	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
5		mnfxr 11032	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7		preimaiocmnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
10	6, 8, 9	iocleubd 43097	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
11	10	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
13	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
14	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	ffvelrnda 6961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	16	mnfltd 12860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
20	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
21		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
22	13, 15, 18, 20, 21	eliocd 43045	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
23	22	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵 → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)))
24	12, 23	impbid 211	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
25	24	rabbidva 3413	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})
26	4, 25	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  (,]cioc 13080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-ioc 13084

This theorem is referenced by:  issmfle2d  44342