Theorem preimaiocmnf 42198

Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaiocmnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaiocmnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaiocmnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaiocmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaiocmnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6488	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fncnvima2 6808	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
5		mnfxr 10687	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7		preimaiocmnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
10	6, 8, 9	iocleubd 42196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
11	10	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
13	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
14	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	ffvelrnda 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 10680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	16	mnfltd 12507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
20	19	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
21		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
22	13, 15, 18, 20, 21	eliocd 42144	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
23	22	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵 → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)))
24	12, 23	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
25	24	rabbidva 3425	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})
26	4, 25	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  (,]cioc 12727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-ioc 12731

This theorem is referenced by:  issmfle2d  43440