Theorem preimaiocmnf 45514

Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaiocmnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaiocmnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaiocmnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaiocmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaiocmnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6738	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fncnvima2 7081	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
5		mnfxr 11316	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7		preimaiocmnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
10	6, 8, 9	iocleubd 45512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
11	10	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
13	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
14	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	16	mnfltd 13164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
22	13, 15, 18, 20, 21	eliocd 45460	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵 → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)))
24	12, 23	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
25	24	rabbidva 3440	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})
26	4, 25	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  (,]cioc 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-ioc 13389

This theorem is referenced by:  issmfle2d  46765