Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem1 41589
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem1.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem1.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem1.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem1.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smfsuplem1.h (𝜑𝐻:𝑍𝑆)
smfsuplem1.i ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑛,𝐺,𝑥   𝑛,𝐻,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem1
StepHypRef Expression
1 smfsuplem1.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
43ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
62, 4, 5smff 41513 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
76ffnd 6224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛))
87adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛))
9 smfsuplem1.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
10 ssrab2 3847 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
119, 10eqsstri 3795 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
12 iinss2 4728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
1311, 12syl5ss 3772 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝐷 ⊆ dom (𝐹𝑛))
1413ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐷 ⊆ dom (𝐹𝑛))
15 cnvimass 5667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ dom 𝐺
1615sseli 3757 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
1716adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
18 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
19 smfsuplem1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 uzid 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
22 smfsuplem1.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (ℤ𝑀)
2321, 22syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀𝑍)
2423ne0d 4086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
2524adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
266adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2712adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
2811sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3027, 29sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3130adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3226, 31ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
339rabeq2i 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
3433simprbi 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3618, 25, 32, 35suprclrnmpt 40039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
37 smfsuplem1.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
3836, 37fmptd 6574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
3938fdmd 6232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐷)
4039ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → dom 𝐺 = 𝐷)
4117, 40eleqtrd 2846 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥𝐷)
4214, 41sseldd 3762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
43 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
45 smfsuplem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4645rexrd 10343 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4746ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4832an32s 642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
4941, 48syldan 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
5049rexrd 10343 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
5149mnfltd 12158 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ < ((𝐹𝑛)‘𝑥))
5216adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
5338ffdmd 6245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
5453ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5552, 54syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5655adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5745ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 an32 636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍))
5958biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍))
6018, 32, 35suprubrnmpt 40041 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
6362, 36fvmpt2d 6482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6463adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6561, 64breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
6641, 65syldan 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
6743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
6846adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
7038ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 Fn 𝐷)
71 elpreima 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn 𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7372adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7469, 73mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴)))
7574simprd 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
7667, 68, 75iocleubd 40356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
7776adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
7849, 56, 57, 66, 77letrd 10448 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
7944, 47, 50, 51, 78eliocd 40304 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
808, 42, 79elpreimad 40028 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
8180ssd 39835 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
82 smfsuplem1.i . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
83 inss1 3992 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ⊆ (𝐻𝑛)
8482, 83syl6eqss 3815 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8581, 84sstrd 3771 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8685ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
87 ssiin 4726 . . . . 5 ((𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8886, 87sylibr 225 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐻𝑛))
8915, 38fssdm 6239 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝐷)
9088, 89ssind 3996 . . 3 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
91 iniin1 39890 . . . . 5 (𝑍 ≠ ∅ → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9224, 91syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9370adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐷)
94 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9523adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑀𝑍)
96 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝐻𝑛) = (𝐻𝑀))
9796ineq1d 3975 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷))
9897eleq2d 2830 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)))
9994, 95, 98eliind 39823 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷))
100 elinel2 3962 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
10199, 100syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
10243a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
10346adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10463, 36eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
105104rexrd 10343 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
106101, 105syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
107100adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
108107, 104syldan 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
109108mnfltd 12158 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → -∞ < (𝐺𝑥))
11099, 109syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → -∞ < (𝐺𝑥))
111101, 63syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
112 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
113 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑥
114 nfii1 4707 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
115113, 114nfel 2920 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
116112, 115nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
117 simpll 783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
118 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
119 eliinid 39876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
120119adantll 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
121 elinel1 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑛))
1221213ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑛))
123 elinel2 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
124123adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
12530ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
126124, 125syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
1271263adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
128122, 127elind 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
129823adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
130128, 129eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
13143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
132463ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
133 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
134 elpreima 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1357, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1361353adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
137133, 136mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴)))
138137simprd 489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
139131, 132, 138iocleubd 40356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
140130, 139syld3an3 1528 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
141117, 118, 120, 140syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
142141ex 401 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝑛𝑍 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴))
143116, 142ralrimi 3104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
14424adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑍 ≠ ∅)
145101, 32syldanl 595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
146101, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
14745adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
148116, 144, 145, 146, 147suprleubrnmpt 40218 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴))
149143, 148mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ≤ 𝐴)
150111, 149eqbrtrd 4831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
151102, 103, 106, 110, 150eliocd 40304 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
15293, 101, 151elpreimad 40028 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
153152ssd 39835 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
15492, 153eqsstrd 3799 . . 3 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
15590, 154eqssd 3778 . 2 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) = ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
156 eqid 2765 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
157 fvex 6388 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑛) ∈ V
158157dmex 7297 . . . . . . . 8 dom (𝐹𝑛) ∈ V
159158rgenw 3071 . . . . . . 7 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V
160159a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V)
16124, 160iinexd 39899 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V)
162156, 161rabexd 4974 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ∈ V)
1639, 162syl5eqel 2848 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
16422uzct 39815 . . . . 5 𝑍 ≼ ω
165164a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ≼ ω)
166 smfsuplem1.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑍𝑆)
167166ffvelrnda 6549 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) ∈ 𝑆)
1681, 165, 24, 167saliincl 41114 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∈ 𝑆)
169 eqid 2765 . . 3 ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
1701, 163, 168, 169elrestd 39873 . 2 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
171155, 170eqeltrd 2844 1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  c0 4079   ciin 4677   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ccnv 5276  dom cdm 5277  ran crn 5278  cima 5280   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  ωcom 7263  cdom 8158  supcsup 8553  cr 10188  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cz 11624  cuz 11886  (,]cioc 12378  t crest 16349  SAlgcsalg 41097  SMblFncsmblfn 41481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-rest 16351  df-salg 41098  df-smblfn 41482
This theorem is referenced by:  smfsuplem2  41590
  Copyright terms: Public domain W3C validator