Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem1 46826
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem1.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem1.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem1.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem1.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smfsuplem1.h (𝜑𝐻:𝑍𝑆)
smfsuplem1.i ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑛,𝐺,𝑥   𝑛,𝐻,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem1
StepHypRef Expression
1 smfsuplem1.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
43ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
62, 4, 5smff 46747 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
76ffnd 6737 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛))
87adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛))
9 smfsuplem1.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
10 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
119, 10eqsstri 4030 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
12 iinss2 5057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
1311, 12sstrid 3995 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝐷 ⊆ dom (𝐹𝑛))
1413ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐷 ⊆ dom (𝐹𝑛))
15 cnvimass 6100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ dom 𝐺
1615sseli 3979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
18 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
19 smfsuplem1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 uzid 12893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
22 smfsuplem1.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (ℤ𝑀)
2321, 22eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀𝑍)
2423ne0d 4342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
266adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2712adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
2811sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3027, 29sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3130adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3226, 31ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
339reqabi 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
3433simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3618, 25, 32, 35suprclrnmpt 45258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
37 smfsuplem1.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
3836, 37fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
3938fdmd 6746 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐷)
4039ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → dom 𝐺 = 𝐷)
4117, 40eleqtrd 2843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥𝐷)
4214, 41sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
43 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
45 smfsuplem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4645rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4746ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4832an32s 652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
4941, 48syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
5049rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
5149mnfltd 13166 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ < ((𝐹𝑛)‘𝑥))
5216adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
5338ffdmd 6766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
5453ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5552, 54syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5655adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5745ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 an32 646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍))
5958biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍))
6018, 32, 35suprubrnmpt 45260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
6362, 36fvmpt2d 7029 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6463adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6561, 64breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
6641, 65syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
6743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
6846adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
7038ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 Fn 𝐷)
71 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn 𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7469, 73mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴)))
7574simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
7667, 68, 75iocleubd 45572 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
7776adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
7849, 56, 57, 66, 77letrd 11418 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
7944, 47, 50, 51, 78eliocd 45520 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
808, 42, 79elpreimad 7079 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
8180ssd 45085 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
82 smfsuplem1.i . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
83 inss1 4237 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ⊆ (𝐻𝑛)
8482, 83eqsstrdi 4028 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8581, 84sstrd 3994 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8685ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
87 ssiin 5055 . . . . 5 ((𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8886, 87sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐻𝑛))
8915, 38fssdm 6755 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝐷)
9088, 89ssind 4241 . . 3 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
91 iniin1 45130 . . . . 5 (𝑍 ≠ ∅ → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9224, 91syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9370adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐷)
94 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9523adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑀𝑍)
96 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝐻𝑛) = (𝐻𝑀))
9796ineq1d 4219 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷))
9897eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)))
9994, 95, 98eliind 45076 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷))
100 elinel2 4202 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
10199, 100syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
10243a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
10346adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10463, 36eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
105104rexrd 11311 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
106101, 105syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
107100adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
108107, 104syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
109108mnfltd 13166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → -∞ < (𝐺𝑥))
11099, 109syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → -∞ < (𝐺𝑥))
111101, 63syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
112 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
113 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑥
114 nfii1 5029 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
115113, 114nfel 2920 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
116112, 115nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
117 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
118 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
119 eliinid 45116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
120119adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
121 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑛))
1221213ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑛))
123 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
12530ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
126124, 125syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
1271263adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
128122, 127elind 4200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
129823adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
130128, 129eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
13143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
132463ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
133 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
134 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1357, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1361353adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
137133, 136mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴)))
138137simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
139131, 132, 138iocleubd 45572 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
140130, 139syld3an3 1411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
141117, 118, 120, 140syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
142141ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝑛𝑍 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴))
143116, 142ralrimi 3257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
14424adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑍 ≠ ∅)
145101, 32syldanl 602 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
146101, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
14745adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
148116, 144, 145, 146, 147suprleubrnmpt 45433 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴))
149143, 148mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ≤ 𝐴)
150111, 149eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
151102, 103, 106, 110, 150eliocd 45520 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
15293, 101, 151elpreimad 7079 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
153152ssd 45085 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
15492, 153eqsstrd 4018 . . 3 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
15590, 154eqssd 4001 . 2 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) = ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
156 eqid 2737 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
157 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑛) ∈ V
158157dmex 7931 . . . . . . . 8 dom (𝐹𝑛) ∈ V
159158rgenw 3065 . . . . . . 7 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V
160159a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V)
16124, 160iinexd 45138 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V)
162156, 161rabexd 5340 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ∈ V)
1639, 162eqeltrid 2845 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
16422uzct 45068 . . . . 5 𝑍 ≼ ω
165164a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ≼ ω)
166 smfsuplem1.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑍𝑆)
167166ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) ∈ 𝑆)
1681, 165, 24, 167saliincl 46342 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∈ 𝑆)
169 eqid 2737 . . 3 ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
1701, 163, 168, 169elrestd 45113 . 2 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
171155, 170eqeltrd 2841 1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333   ciin 4992   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  supcsup 9480  cr 11154  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  (,]cioc 13388  t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smfsuplem2  46827
  Copyright terms: Public domain W3C validator