Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem1 45527
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfsuplem1.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfsuplem1.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfsuplem1.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
smfsuplem1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
smfsuplem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
smfsuplem1.h (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘βŸΆπ‘†)
smfsuplem1.i ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((π»β€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem1 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,π‘₯   𝐷,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   𝑛,𝐺,π‘₯   𝑛,𝐻,π‘₯,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑦)   𝑀(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem1
StepHypRef Expression
1 smfsuplem1.s . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem1.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
43ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
5 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘›)
62, 4, 5smff 45448 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
76ffnd 6719 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) Fn dom (πΉβ€˜π‘›))
87adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) Fn dom (πΉβ€˜π‘›))
9 smfsuplem1.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
10 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . 13 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
119, 10eqsstri 4017 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
12 iinss2 5061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) βŠ† dom (πΉβ€˜π‘›))
1311, 12sstrid 3994 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝐷 βŠ† dom (πΉβ€˜π‘›))
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ 𝐷 βŠ† dom (πΉβ€˜π‘›))
15 cnvimass 6081 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† dom 𝐺
1615sseli 3979 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
1716adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
18 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
19 smfsuplem1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
20 uzid 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
22 smfsuplem1.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2321, 22eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
2423ne0d 4336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
266adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
2712adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) βŠ† dom (πΉβ€˜π‘›))
2811sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
3027, 29sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
3130adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
3226, 31ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
339reqabi 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
3433simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
3534adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
3618, 25, 32, 35suprclrnmpt 43955 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
37 smfsuplem1.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
3836, 37fmptd 7114 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„)
3938fdmd 6729 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = 𝐷)
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ dom 𝐺 = 𝐷)
4117, 40eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
4214, 41sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
43 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
45 smfsuplem1.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4645rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4832an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4941, 48syldan 592 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5049rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
5149mnfltd 13104 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ -∞ < ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
5216adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
5338ffdmd 6749 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„)
5453ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5552, 54syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5745ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
58 an32 645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍))
5958biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍))
6018, 32, 35suprubrnmpt 43957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
6237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
6362, 36fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
6463adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
6561, 64breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
6641, 65syldan 592 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
6743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
6846adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
69 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)))
7038ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐷)
71 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn 𝐷 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7372adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7469, 73mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴)))
7574simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))
7667, 68, 75iocleubd 44272 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
7776adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
7849, 56, 57, 66, 77letrd 11371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
7944, 47, 50, 51, 78eliocd 44220 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))
808, 42, 79elpreimad 7061 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)))
8180ssd 43769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)))
82 smfsuplem1.i . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((π»β€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))
83 inss1 4229 . . . . . . . 8 ((π»β€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)) βŠ† (π»β€˜π‘›)
8482, 83eqsstrdi 4037 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† (π»β€˜π‘›))
8581, 84sstrd 3993 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† (π»β€˜π‘›))
8685ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† (π»β€˜π‘›))
87 ssiin 5059 . . . . 5 ((◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† (π»β€˜π‘›))
8886, 87sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›))
8915, 38fssdm 6738 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† 𝐷)
9088, 89ssind 4233 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) βŠ† (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷))
91 iniin1 43814 . . . . 5 (𝑍 β‰  βˆ… β†’ (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) = ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷))
9224, 91syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) = ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷))
9370adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ 𝐺 Fn 𝐷)
94 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷))
9523adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
96 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ (π»β€˜π‘›) = (π»β€˜π‘€))
9796ineq1d 4212 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) = ((π»β€˜π‘€) ∩ 𝐷))
9897eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 β†’ (π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) ↔ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘€) ∩ 𝐷)))
9994, 95, 98eliind 43758 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘€) ∩ 𝐷))
100 elinel2 4197 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘€) ∩ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
10199, 100syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
10243a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
10346adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
10463, 36eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
105104rexrd 11264 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
106101, 105syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
107100adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘€) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
108107, 104syldan 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘€) ∩ 𝐷)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
109108mnfltd 13104 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘€) ∩ 𝐷)) β†’ -∞ < (πΊβ€˜π‘₯))
11099, 109syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ -∞ < (πΊβ€˜π‘₯))
111101, 63syldan 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
112 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›πœ‘
113 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛π‘₯
114 nfii1 5033 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)
115113, 114nfel 2918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)
116112, 115nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷))
117 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
118 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
119 eliinid 43800 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷))
120119adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷))
121 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ (π»β€˜π‘›))
1221213ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ (π»β€˜π‘›))
123 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
124123adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
12530ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
126124, 125syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
1271263adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
128122, 127elind 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))
129823adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((π»β€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))
130128, 129eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)))
13143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
132463ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
133 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)))
134 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘›) Fn dom (πΉβ€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1357, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1361353adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))))
137133, 136mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴)))
138137simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))
139131, 132, 138iocleubd 44272 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
140130, 139syld3an3 1410 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
141117, 118, 120, 140syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
142141ex 414 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝐴))
143116, 142ralrimi 3255 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
14424adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
145101, 32syldanl 603 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
146101, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
14745adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
148116, 144, 145, 146, 147suprleubrnmpt 44132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝐴))
149143, 148mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ≀ 𝐴)
150111, 149eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
151102, 103, 106, 110, 150eliocd 44220 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,]𝐴))
15293, 101, 151elpreimad 7061 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)))
153152ssd 43769 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) βŠ† (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)))
15492, 153eqsstrd 4021 . . 3 (πœ‘ β†’ (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) βŠ† (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)))
15590, 154eqssd 4000 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) = (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷))
156 eqid 2733 . . . . 5 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
157 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜π‘›) ∈ V
158157dmex 7902 . . . . . . . 8 dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V
159158rgenw 3066 . . . . . . 7 βˆ€π‘› ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V
160159a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V)
16124, 160iinexd 43822 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V)
162156, 161rabexd 5334 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ∈ V)
1639, 162eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
16422uzct 43750 . . . . 5 𝑍 β‰Ό Ο‰
165164a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰Ό Ο‰)
166 smfsuplem1.h . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘βŸΆπ‘†)
167166ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
1681, 165, 24, 167saliincl 45043 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
169 eqid 2733 . . 3 (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) = (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷)
1701, 163, 168, 169elrestd 43797 . 2 (πœ‘ β†’ (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘›) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
171155, 170eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  supcsup 9435  β„cr 11109  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  (,]cioc 13325   β†Ύt crest 17366  SAlgcsalg 45024  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-rest 17368  df-salg 45025  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by:  smfsuplem2  45528
  Copyright terms: Public domain W3C validator