Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem1 43070
 Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem1.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem1.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem1.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem1.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smfsuplem1.h (𝜑𝐻:𝑍𝑆)
smfsuplem1.i ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑛,𝐺,𝑥   𝑛,𝐻,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem1
StepHypRef Expression
1 smfsuplem1.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
43ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5 eqid 2819 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
62, 4, 5smff 42994 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
76ffnd 6508 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛))
87adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛))
9 smfsuplem1.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
10 ssrab2 4054 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
119, 10eqsstri 3999 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
12 iinss2 4972 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
1311, 12sstrid 3976 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝐷 ⊆ dom (𝐹𝑛))
1413ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐷 ⊆ dom (𝐹𝑛))
15 cnvimass 5942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ dom 𝐺
1615sseli 3961 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
1716adantl 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
18 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
19 smfsuplem1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 uzid 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
22 smfsuplem1.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (ℤ𝑀)
2321, 22eleqtrrdi 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀𝑍)
2423ne0d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
2524adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
266adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2712adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
2811sseli 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
2928adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3027, 29sseldd 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3130adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3226, 31ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
339rabeq2i 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
3433simprbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3534adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3618, 25, 32, 35suprclrnmpt 41507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
37 smfsuplem1.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
3836, 37fmptd 6871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
3938fdmd 6516 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐷)
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → dom 𝐺 = 𝐷)
4117, 40eleqtrd 2913 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥𝐷)
4214, 41sseldd 3966 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
43 mnfxr 10690 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
45 smfsuplem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4645rexrd 10683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4832an32s 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
4941, 48syldan 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
5049rexrd 10683 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
5149mnfltd 12511 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ < ((𝐹𝑛)‘𝑥))
5216adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
5338ffdmd 6530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
5453ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5552, 54syldan 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5655adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5745ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 an32 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍))
5958biimpi 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍))
6018, 32, 35suprubrnmpt 41509 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
6362, 36fvmpt2d 6774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6463adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6561, 64breqtrrd 5085 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
6641, 65syldan 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
6743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
6846adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
7038ffnd 6508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 Fn 𝐷)
71 elpreima 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn 𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7372adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7469, 73mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴)))
7574simprd 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
7667, 68, 75iocleubd 41819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
7776adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
7849, 56, 57, 66, 77letrd 10789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
7944, 47, 50, 51, 78eliocd 41767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
808, 42, 79elpreimad 6822 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
8180ssd 41329 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
82 smfsuplem1.i . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
83 inss1 4203 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ⊆ (𝐻𝑛)
8482, 83eqsstrdi 4019 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8581, 84sstrd 3975 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8685ralrimiva 3180 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
87 ssiin 4970 . . . . 5 ((𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8886, 87sylibr 236 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐻𝑛))
8915, 38fssdm 6523 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝐷)
9088, 89ssind 4207 . . 3 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
91 iniin1 41376 . . . . 5 (𝑍 ≠ ∅ → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9224, 91syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9370adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐷)
94 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9523adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑀𝑍)
96 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝐻𝑛) = (𝐻𝑀))
9796ineq1d 4186 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷))
9897eleq2d 2896 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)))
9994, 95, 98eliind 41318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷))
100 elinel2 4171 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
10199, 100syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
10243a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
10346adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10463, 36eqeltrd 2911 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
105104rexrd 10683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
106101, 105syldan 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
107100adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
108107, 104syldan 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
109108mnfltd 12511 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → -∞ < (𝐺𝑥))
11099, 109syldan 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → -∞ < (𝐺𝑥))
111101, 63syldan 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
112 nfv 1908 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
113 nfcv 2975 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑥
114 nfii1 4945 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
115113, 114nfel 2990 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
116112, 115nfan 1893 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
117 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
118 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
119 eliinid 41362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
120119adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
121 elinel1 4170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑛))
1221213ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑛))
123 elinel2 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
124123adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
12530ancoms 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
126124, 125syldan 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
1271263adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
128122, 127elind 4169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
129823adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
130128, 129eleqtrrd 2914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
13143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
132463ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
133 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
134 elpreima 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1357, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1361353adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
137133, 136mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴)))
138137simprd 498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
139131, 132, 138iocleubd 41819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
140130, 139syld3an3 1403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
141117, 118, 120, 140syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
142141ex 415 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝑛𝑍 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴))
143116, 142ralrimi 3214 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
14424adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑍 ≠ ∅)
145101, 32syldanl 603 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
146101, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
14745adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
148116, 144, 145, 146, 147suprleubrnmpt 41680 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴))
149143, 148mpbird 259 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ≤ 𝐴)
150111, 149eqbrtrd 5079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
151102, 103, 106, 110, 150eliocd 41767 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
15293, 101, 151elpreimad 6822 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
153152ssd 41329 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
15492, 153eqsstrd 4003 . . 3 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
15590, 154eqssd 3982 . 2 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) = ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
156 eqid 2819 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
157 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑛) ∈ V
158157dmex 7608 . . . . . . . 8 dom (𝐹𝑛) ∈ V
159158rgenw 3148 . . . . . . 7 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V
160159a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V)
16124, 160iinexd 41384 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V)
162156, 161rabexd 5227 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ∈ V)
1639, 162eqeltrid 2915 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
16422uzct 41310 . . . . 5 𝑍 ≼ ω
165164a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ≼ ω)
166 smfsuplem1.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑍𝑆)
167166ffvelrnda 6844 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) ∈ 𝑆)
1681, 165, 24, 167saliincl 42595 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∈ 𝑆)
169 eqid 2819 . . 3 ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
1701, 163, 168, 169elrestd 41359 . 2 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
171155, 170eqeltrd 2911 1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  {crab 3140  Vcvv 3493   ∩ cin 3933   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  ∩ ciin 4911   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  ◡ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549   “ cima 5551   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ωcom 7572   ≼ cdom 8499  supcsup 8896  ℝcr 10528  -∞cmnf 10665  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  (,]cioc 12731   ↾t crest 16686  SAlgcsalg 42578  SMblFncsmblfn 42962 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-rest 16688  df-salg 42579  df-smblfn 42963 This theorem is referenced by:  smfsuplem2  43071
 Copyright terms: Public domain W3C validator