Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrjat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 1cvrjat 38334
Description: An element covered by the lattice unity, when joined with an atom not under it, equals the lattice unity. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrjat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1cvrjat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
1cvrjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
1cvrjat.u 1 = (1.β€˜πΎ)
1cvrjat.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
1cvrjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
1cvrjat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )
Proof of Theorem 1cvrjat
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
2 1cvrjat.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 1cvrjat.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 1cvrjat.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 1cvrjat.c . . . . . . . 8 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
6 1cvrjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
72, 3, 4, 5, 6cvr1 38269 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
87adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
91, 8mpbid 231 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃))
10 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 38220 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
13 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1410hllatd 38222 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
162, 6atbase 38147 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
182, 4latjcl 18388 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
1914, 13, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
212, 20, 5cvrcon3b 38135 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
2212, 13, 19, 21syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
239, 22mpbid 231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
24 hlatl 38218 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2510, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
262, 20opoccl 38052 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐡)
2712, 19, 26syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐡)
282, 20opoccl 38052 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
2912, 13, 28syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
30 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
31 1cvrjat.u . . . . . . . . 9 1 = (1.β€˜πΎ)
3230, 31, 20opoc1 38060 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
3310, 11, 323syl 18 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
34 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋𝐢 1 )
352, 31op1cl 38043 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ 𝐡)
3610, 11, 353syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 1 ∈ 𝐡)
372, 20, 5cvrcon3b 38135 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 )𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3812, 13, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 )𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3934, 38mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 )𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
4033, 39eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (0.β€˜πΎ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
412, 30, 5, 6isat 38144 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
4210, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
4329, 40, 42mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
442, 3, 30, 5, 6atcvreq0 38172 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.β€˜πΎ)))
4525, 27, 43, 44syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.β€˜πΎ)))
4623, 45mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.β€˜πΎ))
4746fveq2d 6892 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(0.β€˜πΎ)))
482, 20opococ 38053 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
4912, 19, 48syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
5030, 31, 20opoc0 38061 . . 3 (𝐾 ∈ OP β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(0.β€˜πΎ)) = 1 )
5110, 11, 503syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(0.β€˜πΎ)) = 1 )
5247, 49, 513eqtr3d 2780 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  occoc 17201  joincjn 18260  0.cp0 18372  1.cp1 18373  Latclat 18380  OPcops 38030   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  1cvrat  38335  lhpjat1  38879
  Copyright terms: Public domain W3C validator