Theorem 1cvrjat 39674

Description: An element covered by the lattice unity, when joined with an atom not under it, equals the lattice unity. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrjat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
1cvrjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
1cvrjat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrjat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrjat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem 1cvrjat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
2		1cvrjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		1cvrjat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		1cvrjat.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		1cvrjat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		1cvrjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	cvr1 39609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
9	1, 8	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃))
10		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 39561	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
13		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	10	hllatd 39563	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
15		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
16	2, 6	atbase 39488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
18	2, 4	latjcl 18360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
19	14, 13, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
20		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
21	2, 20, 5	cvrcon3b 39476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	12, 13, 19, 21	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	9, 22	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
24		hlatl 39559	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
25	10, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ AtLat)
26	2, 20	opoccl 39393	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
27	12, 19, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
28	2, 20	opoccl 39393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
29	12, 13, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
30		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
31		1cvrjat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
32	30, 31, 20	opoc1 39401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
33	10, 11, 32	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
34		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
35	2, 31	op1cl 39384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
36	10, 11, 35	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 1 ∈ 𝐵)
37	2, 20, 5	cvrcon3b 39476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
38	12, 13, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
39	34, 38	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
40	33, 39	eqbrtrrd 5120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
41	2, 30, 5, 6	isat 39485	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
42	10, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
43	29, 40, 42	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
44	2, 3, 30, 5, 6	atcvreq0 39513	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
45	25, 27, 43, 44	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
46	23, 45	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾))
47	46	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
48	2, 20	opococ 39394	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
49	12, 19, 48	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
50	30, 31, 20	opoc0 39402	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
51	10, 11, 50	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
52	47, 49, 51	3eqtr3d 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  lecple 17182  occoc 17183  joincjn 18232  0.cp0 18342  1.cp1 18343  Latclat 18352  OPcops 39371   ⋖ ccvr 39461  Atomscatm 39462  AtLatcal 39463  HLchlt 39549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-p1 18345  df-lat 18353  df-clat 18420  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550

This theorem is referenced by:  1cvrat  39675  lhpjat1  40219