Theorem 1cvrjat 40099

Description: An element covered by the lattice unity, when joined with an atom not under it, equals the lattice unity. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrjat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
1cvrjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
1cvrjat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrjat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrjat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem 1cvrjat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
2		1cvrjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		1cvrjat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		1cvrjat.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		1cvrjat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		1cvrjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	cvr1 40034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
8	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
9	1, 8	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃))
10		simpl1 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 39986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
13		simpl2 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	10	hllatd 39988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
15		simpl3 1207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
16	2, 6	atbase 39913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
18	2, 4	latjcl 18471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
19	14, 13, 17, 18	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
20		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
21	2, 20, 5	cvrcon3b 39901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	12, 13, 19, 21	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	9, 22	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
24		hlatl 39984	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
25	10, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ AtLat)
26	2, 20	opoccl 39818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
27	12, 19, 26	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
28	2, 20	opoccl 39818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
29	12, 13, 28	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
30		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
31		1cvrjat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
32	30, 31, 20	opoc1 39826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
33	10, 11, 32	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
34		simprl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
35	2, 31	op1cl 39809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
36	10, 11, 35	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 1 ∈ 𝐵)
37	2, 20, 5	cvrcon3b 39901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
38	12, 13, 36, 37	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
39	34, 38	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
40	33, 39	eqbrtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
41	2, 30, 5, 6	isat 39910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
42	10, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
43	29, 40, 42	mpbir2and 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
44	2, 3, 30, 5, 6	atcvreq0 39938	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
45	25, 27, 43, 44	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
46	23, 45	mpbid 234	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾))
47	46	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
48	2, 20	opococ 39819	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
49	12, 19, 48	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
50	30, 31, 20	opoc0 39827	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
51	10, 11, 50	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
52	47, 49, 51	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  lecple 17293  occoc 17294  joincjn 18343  0.cp0 18453  1.cp1 18454  Latclat 18463  OPcops 39796   ⋖ ccvr 39886  Atomscatm 39887  AtLatcal 39888  HLchlt 39974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975

This theorem is referenced by:  1cvrat  40100  lhpjat1  40644