Theorem 1cvrjat 39967

Description: An element covered by the lattice unity, when joined with an atom not under it, equals the lattice unity. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrjat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
1cvrjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
1cvrjat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrjat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrjat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem 1cvrjat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
2		1cvrjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		1cvrjat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		1cvrjat.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		1cvrjat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		1cvrjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	cvr1 39902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
9	1, 8	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃))
10		simpl1 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 39854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
13		simpl2 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	10	hllatd 39856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
15		simpl3 1200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
16	2, 6	atbase 39781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
18	2, 4	latjcl 18396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
19	14, 13, 17, 18	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
20		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
21	2, 20, 5	cvrcon3b 39769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	12, 13, 19, 21	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	9, 22	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
24		hlatl 39852	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
25	10, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ AtLat)
26	2, 20	opoccl 39686	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
27	12, 19, 26	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
28	2, 20	opoccl 39686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
29	12, 13, 28	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
30		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
31		1cvrjat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
32	30, 31, 20	opoc1 39694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
33	10, 11, 32	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
34		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
35	2, 31	op1cl 39677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
36	10, 11, 35	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 1 ∈ 𝐵)
37	2, 20, 5	cvrcon3b 39769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
38	12, 13, 36, 37	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
39	34, 38	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
40	33, 39	eqbrtrrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
41	2, 30, 5, 6	isat 39778	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
42	10, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
43	29, 40, 42	mpbir2and 719	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
44	2, 3, 30, 5, 6	atcvreq0 39806	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
45	25, 27, 43, 44	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
46	23, 45	mpbid 233	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾))
47	46	fveq2d 6831	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
48	2, 20	opococ 39687	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
49	12, 19, 48	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
50	30, 31, 20	opoc0 39695	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
51	10, 11, 50	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
52	47, 49, 51	3eqtr3d 2782	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  lecple 17218  occoc 17219  joincjn 18268  0.cp0 18378  1.cp1 18379  Latclat 18388  OPcops 39664   ⋖ ccvr 39754  Atomscatm 39755  AtLatcal 39756  HLchlt 39842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843

This theorem is referenced by:  1cvrat  39968  lhpjat1  40512