Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrjat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 1cvrjat 38649
Description: An element covered by the lattice unity, when joined with an atom not under it, equals the lattice unity. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrjat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1cvrjat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
1cvrjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
1cvrjat.u 1 = (1.β€˜πΎ)
1cvrjat.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
1cvrjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
1cvrjat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )
Proof of Theorem 1cvrjat
StepHypRef Expression
1 simprr 769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
2 1cvrjat.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 1cvrjat.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 1cvrjat.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 1cvrjat.c . . . . . . . 8 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
6 1cvrjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
72, 3, 4, 5, 6cvr1 38584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
87adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
91, 8mpbid 231 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃))
10 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 38535 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
13 simpl2 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1410hllatd 38537 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
162, 6atbase 38462 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
182, 4latjcl 18396 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
1914, 13, 17, 18syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
20 eqid 2730 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
212, 20, 5cvrcon3b 38450 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
2212, 13, 19, 21syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
239, 22mpbid 231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
24 hlatl 38533 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2510, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
262, 20opoccl 38367 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐡)
2712, 19, 26syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐡)
282, 20opoccl 38367 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
2912, 13, 28syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
30 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
31 1cvrjat.u . . . . . . . . 9 1 = (1.β€˜πΎ)
3230, 31, 20opoc1 38375 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
3310, 11, 323syl 18 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
34 simprl 767 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋𝐢 1 )
352, 31op1cl 38358 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ 𝐡)
3610, 11, 353syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 1 ∈ 𝐡)
372, 20, 5cvrcon3b 38450 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 )𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3812, 13, 36, 37syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 )𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3934, 38mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 )𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
4033, 39eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (0.β€˜πΎ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
412, 30, 5, 6isat 38459 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
4210, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
4329, 40, 42mpbir2and 709 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
442, 3, 30, 5, 6atcvreq0 38487 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.β€˜πΎ)))
4525, 27, 43, 44syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.β€˜πΎ)))
4623, 45mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.β€˜πΎ))
4746fveq2d 6894 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(0.β€˜πΎ)))
482, 20opococ 38368 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
4912, 19, 48syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
5030, 31, 20opoc0 38376 . . 3 (𝐾 ∈ OP β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(0.β€˜πΎ)) = 1 )
5110, 11, 503syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(0.β€˜πΎ)) = 1 )
5247, 49, 513eqtr3d 2778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  occoc 17209  joincjn 18268  0.cp0 18380  1.cp1 18381  Latclat 18388  OPcops 38345   β‹– ccvr 38435  Atomscatm 38436  AtLatcal 38437  HLchlt 38523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524
This theorem is referenced by:  1cvrat  38650  lhpjat1  39194
  Copyright terms: Public domain W3C validator