Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrjat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cvrjat 35452
Description: An element covered by the lattice unit, when joined with an atom not under it, equals the lattice unit. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrjat.l = (le‘𝐾)
1cvrjat.j = (join‘𝐾)
1cvrjat.u 1 = (1.‘𝐾)
1cvrjat.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1cvrjat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem 1cvrjat
StepHypRef Expression
1 simprr 789 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ¬ 𝑃 𝑋)
2 1cvrjat.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 1cvrjat.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
4 1cvrjat.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
5 1cvrjat.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6 1cvrjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72, 3, 4, 5, 6cvr1 35387 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
87adantr 472 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
91, 8mpbid 223 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑃))
10 simpl1 1242 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 35339 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
13 simpl2 1244 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐵)
1410hllatd 35341 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
15 simpl3 1246 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐴)
162, 6atbase 35266 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐵)
182, 4latjcl 17331 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
1914, 13, 17, 18syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
20 eqid 2765 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
212, 20, 5cvrcon3b 35254 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2212, 13, 19, 21syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
239, 22mpbid 223 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
24 hlatl 35337 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2510, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ AtLat)
262, 20opoccl 35171 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵)
2712, 19, 26syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵)
282, 20opoccl 35171 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
2912, 13, 28syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
30 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
31 1cvrjat.u . . . . . . . . 9 1 = (1.‘𝐾)
3230, 31, 20opoc1 35179 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
3310, 11, 323syl 18 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
34 simprl 787 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
352, 31op1cl 35162 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
3610, 11, 353syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 1𝐵)
372, 20, 5cvrcon3b 35254 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3812, 13, 36, 37syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3934, 38mpbid 223 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
4033, 39eqbrtrrd 4835 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
412, 30, 5, 6isat 35263 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
4210, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
4329, 40, 42mpbir2and 704 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
442, 3, 30, 5, 6atcvreq0 35291 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
4525, 27, 43, 44syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
4623, 45mpbid 223 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾))
4746fveq2d 6383 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
482, 20opococ 35172 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = (𝑋 𝑃))
4912, 19, 48syl2anc 579 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = (𝑋 𝑃))
5030, 31, 20opoc0 35180 . . 3 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
5110, 11, 503syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
5247, 49, 513eqtr3d 2807 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6846  Basecbs 16144  lecple 16235  occoc 16236  joincjn 17224  0.cp0 17317  1.cp1 17318  Latclat 17325  OPcops 35149  ccvr 35239  Atomscatm 35240  AtLatcal 35241  HLchlt 35327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-proset 17208  df-poset 17226  df-plt 17238  df-lub 17254  df-glb 17255  df-join 17256  df-meet 17257  df-p0 17319  df-p1 17320  df-lat 17326  df-clat 17388  df-oposet 35153  df-ol 35155  df-oml 35156  df-covers 35243  df-ats 35244  df-atl 35275  df-cvlat 35299  df-hlat 35328
This theorem is referenced by:  1cvrat  35453  lhpjat1  35997
  Copyright terms: Public domain W3C validator