Theorem 1cvrjat 40798

Description: An element covered by the lattice unity, when joined with an atom not under it, equals the lattice unity. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrjat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
1cvrjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
1cvrjat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrjat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrjat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem 1cvrjat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
2		1cvrjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		1cvrjat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		1cvrjat.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		1cvrjat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		1cvrjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	cvr1 40733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
9	1, 8	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃))
10		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 40685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
13		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	10	hllatd 40687	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
15		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
16	2, 6	atbase 40612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
18	2, 4	latjcl 18663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
19	14, 13, 17, 18	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
21	2, 20, 5	cvrcon3b 40600	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	12, 13, 19, 21	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	9, 22	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
24		hlatl 40683	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
25	10, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ AtLat)
26	2, 20	opoccl 40517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
27	12, 19, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
28	2, 20	opoccl 40517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
29	12, 13, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
30		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
31		1cvrjat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
32	30, 31, 20	opoc1 40525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
33	10, 11, 32	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
34		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
35	2, 31	op1cl 40508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
36	10, 11, 35	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 1 ∈ 𝐵)
37	2, 20, 5	cvrcon3b 40600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
38	12, 13, 36, 37	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
39	34, 38	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
40	33, 39	eqbrtrrd 5135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
41	2, 30, 5, 6	isat 40609	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
42	10, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
43	29, 40, 42	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
44	2, 3, 30, 5, 6	atcvreq0 40637	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
45	25, 27, 43, 44	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
46	23, 45	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾))
47	46	fveq2d 6920	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
48	2, 20	opococ 40518	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
49	12, 19, 48	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
50	30, 31, 20	opoc0 40526	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
51	10, 11, 50	3syl 19	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
52	47, 49, 51	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479  occoc 17480  joincjn 18535  0.cp0 18645  1.cp1 18646  Latclat 18655  OPcops 40495   ⋖ ccvr 40585  Atomscatm 40586  AtLatcal 40587  HLchlt 40673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674

This theorem is used by:  1cvrat  40799  lhpjat1  41343