Theorem 1cvrjat 39499

Description: An element covered by the lattice unity, when joined with an atom not under it, equals the lattice unity. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrjat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
1cvrjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
1cvrjat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrjat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrjat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem 1cvrjat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
2		1cvrjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		1cvrjat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		1cvrjat.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		1cvrjat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		1cvrjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	cvr1 39434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
9	1, 8	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃))
10		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 39385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
13		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	10	hllatd 39387	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
15		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
16	2, 6	atbase 39312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
18	2, 4	latjcl 18454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
19	14, 13, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
21	2, 20, 5	cvrcon3b 39300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	12, 13, 19, 21	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	9, 22	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
24		hlatl 39383	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
25	10, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ AtLat)
26	2, 20	opoccl 39217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
27	12, 19, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵)
28	2, 20	opoccl 39217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
29	12, 13, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
30		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
31		1cvrjat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
32	30, 31, 20	opoc1 39225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
33	10, 11, 32	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
34		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
35	2, 31	op1cl 39208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
36	10, 11, 35	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 1 ∈ 𝐵)
37	2, 20, 5	cvrcon3b 39300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
38	12, 13, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
39	34, 38	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
40	33, 39	eqbrtrrd 5148	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
41	2, 30, 5, 6	isat 39309	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
42	10, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
43	29, 40, 42	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
44	2, 3, 30, 5, 6	atcvreq0 39337	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
45	25, 27, 43, 44	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
46	23, 45	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = (0.‘𝐾))
47	46	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
48	2, 20	opococ 39218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
49	12, 19, 48	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑃))) = (𝑋 ∨ 𝑃))
50	30, 31, 20	opoc0 39226	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
51	10, 11, 50	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
52	47, 49, 51	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (𝑋 ∨ 𝑃) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  lecple 17283  occoc 17284  joincjn 18328  0.cp0 18438  1.cp1 18439  Latclat 18446  OPcops 39195   ⋖ ccvr 39285  Atomscatm 39286  AtLatcal 39287  HLchlt 39373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374

This theorem is referenced by:  1cvrat  39500  lhpjat1  40044