Theorem 1cvrco 39671

Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrco.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrco.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
1cvrco.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrco.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrco	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem 1cvrco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 39561	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		1cvrco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		1cvrco.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
6	4, 5	op1cl 39384	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
8		1cvrco.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
9		1cvrco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
10	4, 8, 9	cvrcon3b 39476	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
11	2, 3, 7, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	12, 5, 8	opoc1 39401	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
15	14	breq1d 5106	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
16	4, 8	opoccl 39393	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 16	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	17	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
19	11, 15, 18	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
20		1cvrco.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	4, 12, 9, 20	isat 39485	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
23	19, 22	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  occoc 17183  0.cp0 18342  1.cp1 18343  OPcops 39371   ⋖ ccvr 39461  Atomscatm 39462  HLchlt 39549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-p0 18344  df-p1 18345  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-hlat 39550

This theorem is referenced by:  1cvratex  39672  lhpoc  40213