Theorem 1cvrco 37486

Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrco.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrco.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
1cvrco.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrco.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrco	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem 1cvrco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 37376	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		1cvrco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		1cvrco.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
6	4, 5	op1cl 37199	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
8		1cvrco.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
9		1cvrco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
10	4, 8, 9	cvrcon3b 37291	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
11	2, 3, 7, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	12, 5, 8	opoc1 37216	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
15	14	breq1d 5084	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
16	4, 8	opoccl 37208	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 16	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	17	biantrurd 533	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
19	11, 15, 18	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
20		1cvrco.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	4, 12, 9, 20	isat 37300	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
22	21	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
23	19, 22	bitr4d 281	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  occoc 16970  0.cp0 18141  1.cp1 18142  OPcops 37186   ⋖ ccvr 37276  Atomscatm 37277  HLchlt 37364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-p0 18143  df-p1 18144  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-hlat 37365

This theorem is referenced by:  1cvratex  37487  lhpoc  38028