Theorem 1cvrco 40795

Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrco.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrco.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
1cvrco.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrco.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrco	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem 1cvrco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 40685	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		1cvrco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		1cvrco.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
6	4, 5	op1cl 40508	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
8		1cvrco.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
9		1cvrco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
10	4, 8, 9	cvrcon3b 40600	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
11	2, 3, 7, 10	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	12, 5, 8	opoc1 40525	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
14	2, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
15	14	breq1d 5118	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
16	4, 8	opoccl 40517	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 16	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	17	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
19	11, 15, 18	3bitrd 308	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
20		1cvrco.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	4, 12, 9, 20	isat 40609	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
22	21	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
23	19, 22	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  occoc 17480  0.cp0 18645  1.cp1 18646  OPcops 40495   ⋖ ccvr 40585  Atomscatm 40586  HLchlt 40673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-p0 18647  df-p1 18648  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-hlat 40674

This theorem is used by:  1cvratex  40796  lhpoc  41337