Theorem 1cvrco 39466

Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrco.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrco.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
1cvrco.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrco.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrco	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem 1cvrco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 39355	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		1cvrco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		1cvrco.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
6	4, 5	op1cl 39178	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
8		1cvrco.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
9		1cvrco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
10	4, 8, 9	cvrcon3b 39270	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
11	2, 3, 7, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	12, 5, 8	opoc1 39195	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
15	14	breq1d 5117	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
16	4, 8	opoccl 39187	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 16	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	17	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
19	11, 15, 18	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
20		1cvrco.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	4, 12, 9, 20	isat 39279	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
23	19, 22	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  occoc 17228  0.cp0 18382  1.cp1 18383  OPcops 39165   ⋖ ccvr 39255  Atomscatm 39256  HLchlt 39343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-p0 18384  df-p1 18385  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-hlat 39344

This theorem is referenced by:  1cvratex  39467  lhpoc  40008