Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cvrco 37964
Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrco.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1cvrco.u 1 = (1.β€˜πΎ)
1cvrco.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
1cvrco.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
1cvrco.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
1cvrco ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem 1cvrco
StepHypRef Expression
1 hlop 37853 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
3 simpr 486 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 1cvrco.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 1cvrco.u . . . . . 6 1 = (1.β€˜πΎ)
64, 5op1cl 37676 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ 𝐡)
72, 6syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ 𝐡)
8 1cvrco.o . . . . 5 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
9 1cvrco.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
104, 8, 9cvrcon3b 37768 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ( βŠ₯ β€˜ 1 )𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
112, 3, 7, 10syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ( βŠ₯ β€˜ 1 )𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
1312, 5, 8opoc1 37693 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP β†’ ( βŠ₯ β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
142, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
1514breq1d 5120 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜ 1 )𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹) ↔ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
164, 8opoccl 37685 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
171, 16sylan 581 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1817biantrurd 534 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
1911, 15, 183bitrd 305 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
20 1cvrco.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
214, 12, 9, 20isat 37777 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2221adantr 482 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2319, 22bitr4d 282 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  occoc 17148  0.cp0 18319  1.cp1 18320  OPcops 37663   β‹– ccvr 37753  Atomscatm 37754  HLchlt 37841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-p0 18321  df-p1 18322  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-hlat 37842
This theorem is referenced by:  1cvratex  37965  lhpoc  38506
  Copyright terms: Public domain W3C validator