Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cvrco 39455
Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrco.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrco.u 1 = (1.‘𝐾)
1cvrco.o = (oc‘𝐾)
1cvrco.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrco.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1cvrco ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( 𝑋) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem 1cvrco
StepHypRef Expression
1 hlop 39344 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3 simpr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
4 1cvrco.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 1cvrco.u . . . . . 6 1 = (1.‘𝐾)
64, 5op1cl 39167 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
72, 6syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 1𝐵)
8 1cvrco.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
9 1cvrco.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
104, 8, 9cvrcon3b 39259 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( 1 )𝐶( 𝑋)))
112, 3, 7, 10syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( 1 )𝐶( 𝑋)))
12 eqid 2735 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
1312, 5, 8opoc1 39184 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → ( 1 ) = (0.‘𝐾))
142, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ) = (0.‘𝐾))
1514breq1d 5158 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 )𝐶( 𝑋) ↔ (0.‘𝐾)𝐶( 𝑋)))
164, 8opoccl 39176 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
171, 16sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
1817biantrurd 532 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((0.‘𝐾)𝐶( 𝑋) ↔ (( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( 𝑋))))
1911, 15, 183bitrd 305 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ (( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( 𝑋))))
20 1cvrco.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
214, 12, 9, 20isat 39268 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (( 𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( 𝑋))))
2221adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (( 𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( 𝑋))))
2319, 22bitr4d 282 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( 𝑋) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  occoc 17306  0.cp0 18481  1.cp1 18482  OPcops 39154  ccvr 39244  Atomscatm 39245  HLchlt 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-p0 18483  df-p1 18484  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-hlat 39333
This theorem is referenced by:  1cvratex  39456  lhpoc  39997
  Copyright terms: Public domain W3C validator