Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cvrco 38945
Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrco.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1cvrco.u 1 = (1.β€˜πΎ)
1cvrco.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
1cvrco.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
1cvrco.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
1cvrco ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem 1cvrco
StepHypRef Expression
1 hlop 38834 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
3 simpr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 1cvrco.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 1cvrco.u . . . . . 6 1 = (1.β€˜πΎ)
64, 5op1cl 38657 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ 𝐡)
72, 6syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ 𝐡)
8 1cvrco.o . . . . 5 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
9 1cvrco.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
104, 8, 9cvrcon3b 38749 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ( βŠ₯ β€˜ 1 )𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
112, 3, 7, 10syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ( βŠ₯ β€˜ 1 )𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
12 eqid 2728 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
1312, 5, 8opoc1 38674 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP β†’ ( βŠ₯ β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
142, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
1514breq1d 5158 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜ 1 )𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹) ↔ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
164, 8opoccl 38666 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
171, 16sylan 579 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1817biantrurd 532 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
1911, 15, 183bitrd 305 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
20 1cvrco.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
214, 12, 9, 20isat 38758 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2221adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)𝐢( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2319, 22bitr4d 282 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  occoc 17241  0.cp0 18415  1.cp1 18416  OPcops 38644   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735  HLchlt 38822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-p0 18417  df-p1 18418  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-hlat 38823
This theorem is referenced by:  1cvratex  38946  lhpoc  39487
  Copyright terms: Public domain W3C validator