Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnatb 36715
Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrnatb
StepHypRef Expression
1 simp3 1118 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑃𝐵)
2 ltrnatb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 ltrnatb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrnatb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrncl 36703 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
61, 52thd 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐵 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵))
7 simp1 1116 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1117 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐹𝑇)
9 simp1l 1177 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10 hlop 35940 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11 eqid 2779 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
122, 11op0cl 35762 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
139, 10, 123syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
14 eqid 2779 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
152, 14, 3, 4ltrncvr 36711 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵𝑃𝐵)) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
167, 8, 13, 1, 15syl112anc 1354 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
179, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18 simp1r 1178 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑊𝐻)
192, 3lhpbase 36576 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑊𝐵)
21 eqid 2779 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
222, 21, 11op0le 35764 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
2317, 20, 22syl2anc 576 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
242, 21, 3, 4ltrnval1 36712 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
257, 8, 13, 23, 24syl112anc 1354 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
2625breq1d 4939 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃) ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
2716, 26bitrd 271 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
286, 27anbi12d 621 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
29 ltrnatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
302, 11, 14, 29isat 35864 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
319, 30syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
322, 11, 14, 29isat 35864 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
339, 32syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
3428, 31, 333bitr4d 303 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4929  cfv 6188  Basecbs 16339  lecple 16428  0.cp0 17505  OPcops 35750  ccvr 35840  Atomscatm 35841  HLchlt 35928  LHypclh 36562  LTrncltrn 36679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-map 8208  df-plt 17426  df-glb 17443  df-p0 17507  df-oposet 35754  df-ol 35756  df-oml 35757  df-covers 35844  df-ats 35845  df-hlat 35929  df-lhyp 36566  df-laut 36567  df-ldil 36682  df-ltrn 36683
This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  36716  ltrnel  36717  ltrnat  36718
  Copyright terms: Public domain W3C validator