Theorem ltrnatb 38600

Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrnatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ 𝐵)
2		ltrnatb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		ltrnatb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrnatb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrncl 38588	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
6	1, 5	2thd 264	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵))
7		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		simp1l 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10		hlop 37824	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
12	2, 11	op0cl 37646	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
15	2, 14, 3, 4	ltrncvr 38596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵)) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
16	7, 8, 13, 1, 15	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
17	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18		simp1r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐻)
19	2, 3	lhpbase 38461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐵)
21		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
22	2, 21, 11	op0le 37648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
23	17, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
24	2, 21, 3, 4	ltrnval1 38597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
25	7, 8, 13, 23, 24	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
26	25	breq1d 5115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃) ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
27	16, 26	bitrd 278	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
28	6, 27	anbi12d 631	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
29		ltrnatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
30	2, 11, 14, 29	isat 37748	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
31	9, 30	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
32	2, 11, 14, 29	isat 37748	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
33	9, 32	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
34	28, 31, 33	3bitr4d 310	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  Basecbs 17083  lecple 17140  0.cp0 18312  OPcops 37634   ⋖ ccvr 37724  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-plt 18219  df-glb 18236  df-p0 18314  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-hlat 37813  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568

This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  38601  ltrnel  38602  ltrnat  38603