Theorem ltrnatb 40336

Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrnatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ 𝐵)
2		ltrnatb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		ltrnatb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrnatb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrncl 40324	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
6	1, 5	2thd 265	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵))
7		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		simp1l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10		hlop 39561	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
12	2, 11	op0cl 39383	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
14		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
15	2, 14, 3, 4	ltrncvr 40332	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵)) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
16	7, 8, 13, 1, 15	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
17	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐻)
19	2, 3	lhpbase 40197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐵)
21		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
22	2, 21, 11	op0le 39385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
23	17, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
24	2, 21, 3, 4	ltrnval1 40333	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
25	7, 8, 13, 23, 24	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
26	25	breq1d 5106	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃) ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
27	16, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
28	6, 27	anbi12d 632	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
29		ltrnatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
30	2, 11, 14, 29	isat 39485	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
31	9, 30	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
32	2, 11, 14, 29	isat 39485	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
33	9, 32	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
34	28, 31, 33	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  lecple 17182  0.cp0 18342  OPcops 39371   ⋖ ccvr 39461  Atomscatm 39462  HLchlt 39549  LHypclh 40183  LTrncltrn 40300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763  df-plt 18249  df-glb 18266  df-p0 18344  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-hlat 39550  df-lhyp 40187  df-laut 40188  df-ldil 40303  df-ltrn 40304

This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  40337  ltrnel  40338  ltrnat  40339