Theorem ltrnatb 40131

Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrnatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ 𝐵)
2		ltrnatb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		ltrnatb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrnatb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrncl 40119	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
6	1, 5	2thd 265	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵))
7		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		simp1l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10		hlop 39355	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
12	2, 11	op0cl 39177	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
15	2, 14, 3, 4	ltrncvr 40127	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵)) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
16	7, 8, 13, 1, 15	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
17	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐻)
19	2, 3	lhpbase 39992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐵)
21		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
22	2, 21, 11	op0le 39179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
23	17, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
24	2, 21, 3, 4	ltrnval1 40128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
25	7, 8, 13, 23, 24	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
26	25	breq1d 5117	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃) ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
27	16, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
28	6, 27	anbi12d 632	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
29		ltrnatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
30	2, 11, 14, 29	isat 39279	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
31	9, 30	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
32	2, 11, 14, 29	isat 39279	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
33	9, 32	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
34	28, 31, 33	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  0.cp0 18382  OPcops 39165   ⋖ ccvr 39255  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  LHypclh 39978  LTrncltrn 40095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-plt 18289  df-glb 18306  df-p0 18384  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-hlat 39344  df-lhyp 39982  df-laut 39983  df-ldil 40098  df-ltrn 40099

This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  40132  ltrnel  40133  ltrnat  40134