Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnatb 39642
Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ltrnatb.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnatb.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnatb.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrnatb (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrnatb
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2 ltrnatb.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 ltrnatb.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 ltrnatb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4ltrncl 39630 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
61, 52thd 264 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ 𝐡 ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡))
7 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simp2 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
9 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
10 hlop 38866 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
11 eqid 2728 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
122, 11op0cl 38688 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
139, 10, 123syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
14 eqid 2728 . . . . . 6 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
152, 14, 3, 4ltrncvr 39638 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡)) β†’ ((0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)𝑃 ↔ (πΉβ€˜(0.β€˜πΎ))( β‹– β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))
167, 8, 13, 1, 15syl112anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)𝑃 ↔ (πΉβ€˜(0.β€˜πΎ))( β‹– β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))
179, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
18 simp1r 1195 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
192, 3lhpbase 39503 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
21 eqid 2728 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
222, 21, 11op0le 38690 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
2317, 20, 22syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
242, 21, 3, 4ltrnval1 39639 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(0.β€˜πΎ)) = (0.β€˜πΎ))
257, 8, 13, 23, 24syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(0.β€˜πΎ)) = (0.β€˜πΎ))
2625breq1d 5162 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(0.β€˜πΎ))( β‹– β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ) ↔ (0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))
2716, 26bitrd 278 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)𝑃 ↔ (0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))
286, 27anbi12d 630 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)𝑃) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))))
29 ltrnatb.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
302, 11, 14, 29isat 38790 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)𝑃)))
319, 30syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)𝑃)))
322, 11, 14, 29isat 38790 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))))
339, 32syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))))
3428, 31, 333bitr4d 310 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  0.cp0 18422  OPcops 38676   β‹– ccvr 38766  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-plt 18329  df-glb 18346  df-p0 18424  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-hlat 38855  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610
This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  39643  ltrnel  39644  ltrnat  39645
  Copyright terms: Public domain W3C validator