Theorem ltrnatb 39520

Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrnatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ 𝐵)
2		ltrnatb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		ltrnatb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrnatb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrncl 39508	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
6	1, 5	2thd 265	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵))
7		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		simp1l 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10		hlop 38744	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
12	2, 11	op0cl 38566	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
14		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
15	2, 14, 3, 4	ltrncvr 39516	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵)) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
16	7, 8, 13, 1, 15	syl112anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
17	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18		simp1r 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐻)
19	2, 3	lhpbase 39381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐵)
21		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
22	2, 21, 11	op0le 38568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
23	17, 20, 22	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
24	2, 21, 3, 4	ltrnval1 39517	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
25	7, 8, 13, 23, 24	syl112anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
26	25	breq1d 5151	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃) ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
27	16, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
28	6, 27	anbi12d 630	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
29		ltrnatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
30	2, 11, 14, 29	isat 38668	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
31	9, 30	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
32	2, 11, 14, 29	isat 38668	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
33	9, 32	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
34	28, 31, 33	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  Basecbs 17150  lecple 17210  0.cp0 18385  OPcops 38554   ⋖ ccvr 38644  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-plt 18292  df-glb 18309  df-p0 18387  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-hlat 38733  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488

This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  39521  ltrnel  39522  ltrnat  39523