Theorem isblo 29144

Description: The predicate "is a bounded linear operator." (Contributed by NM, 6-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bloval.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
bloval.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
bloval.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isblo	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))

Proof of Theorem isblo

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bloval.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2		bloval.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
3		bloval.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
4	1, 2, 3	bloval 29143	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝐵 = {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ (𝑁‘𝑡) < +∞})
5	4	eleq2d 2824	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ 𝑇 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ (𝑁‘𝑡) < +∞}))
6		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑁‘𝑡) = (𝑁‘𝑇))
7	6	breq1d 5084	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑁‘𝑡) < +∞ ↔ (𝑁‘𝑇) < +∞))
8	7	elrab 3624	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ (𝑁‘𝑡) < +∞} ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞))
9	5, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  +∞cpnf 11006   < clt 11009  NrmCVeccnv 28946   LnOp clno 29102   normOp_OLD cnmoo 29103   BLnOp cblo 29104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-blo 29108

This theorem is referenced by:  isblo2  29145  bloln  29146  nmblore  29148  isblo3i  29163  htthlem  29279