Theorem isblo 30811

Description: The predicate "is a bounded linear operator." (Contributed by NM, 6-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bloval.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
bloval.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
bloval.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isblo	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))

Proof of Theorem isblo

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bloval.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2		bloval.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
3		bloval.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
4	1, 2, 3	bloval 30810	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝐵 = {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ (𝑁‘𝑡) < +∞})
5	4	eleq2d 2825	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ 𝑇 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ (𝑁‘𝑡) < +∞}))
6		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑁‘𝑡) = (𝑁‘𝑇))
7	6	breq1d 5158	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑁‘𝑡) < +∞ ↔ (𝑁‘𝑇) < +∞))
8	7	elrab 3695	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ (𝑁‘𝑡) < +∞} ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞))
9	5, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  +∞cpnf 11290   < clt 11293  NrmCVeccnv 30613   LnOp clno 30769   normOp_OLD cnmoo 30770   BLnOp cblo 30771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-blo 30775

This theorem is referenced by:  isblo2  30812  bloln  30813  nmblore  30815  isblo3i  30830  htthlem  30946