Theorem isblo3i 28697

Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
isblo3i.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
isblo3i.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
isblo3i	⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isblo3i.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		isblo3i.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
3		isblo3i.4	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
4		isblo3i.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
5	3, 4	bloln 28680	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)
6	1, 2, 5	mp3an12 1448	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ 𝐿)
7		isblo3i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
9		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
10	7, 8, 9, 4	nmblore 28682	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	mp3an12 1448	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
12		isblo3i.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
13		isblo3i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
14	7, 12, 13, 9, 4, 1, 2	nmblolbi 28696	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
15	14	ralrimiva 3113	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
16		oveq1 7163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) = (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
17	16	breq2d 5048	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
18	17	ralbidv 3126	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
19	18	rspcev 3543	. . . 4 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
20	11, 15, 19	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
21	6, 20	jca 515	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))
22		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐿)
23	7, 8, 3	lnof 28651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
24	1, 2, 23	mp3an12 1448	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
25	7, 8, 9	nmoxr 28662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
26	1, 2, 25	mp3an12 1448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
27	26	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
28		recn 10678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	abscld 14857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	rexrd 10742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
31	30	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 10746	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
34	7, 8, 12, 13, 9, 1, 2	nmoub3i 28669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ≤ (abs‘𝑥))
35		ltpnf 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
37	36	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) < +∞)
38	27, 31, 33, 34, 37	xrlelttrd 12607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
39	24, 38	syl3an1 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
40	9, 3, 4	isblo 28678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
41	1, 2, 40	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞))
42	22, 39, 41	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
43	42	rexlimdv3a 3210	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) → 𝑇 ∈ 𝐵))
44	43	imp 410	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
45	21, 44	impbii 212	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   class class class wbr 5036  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587   · cmul 10593  +∞cpnf 10723  ℝ^*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727  abscabs 14654  NrmCVeccnv 28480  BaseSetcba 28482  norm_CVcnmcv 28486   LnOp clno 28636   normOp_OLD cnmoo 28637   BLnOp cblo 28638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-grpo 28389  df-gid 28390  df-ginv 28391  df-ablo 28441  df-vc 28455  df-nv 28488  df-va 28491  df-ba 28492  df-sm 28493  df-0v 28494  df-nmcv 28496  df-lno 28640  df-nmoo 28641  df-blo 28642  df-0o 28643

This theorem is referenced by:  blo3i  28698  blocnilem  28700