MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isblo3i 29807
Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
isblo3i.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
isblo3i.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
isblo3i.4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
isblo3i.5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
isblo3i.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
isblo3i.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
isblo3i (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
2 isblo3i.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
3 isblo3i.4 . . . . 5 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
4 isblo3i.5 . . . . 5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
53, 4bloln 29790 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ 𝐿)
61, 2, 5mp3an12 1452 . . 3 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ 𝑇 ∈ 𝐿)
7 isblo3i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘ˆ normOpOLD π‘Š) = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
107, 8, 9, 4nmblore 29792 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
111, 2, 10mp3an12 1452 . . . 4 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
12 isblo3i.m . . . . . 6 𝑀 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
13 isblo3i.n . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 29806 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
1514ralrimiva 3140 . . . 4 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
16 oveq1 7370 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) β†’ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)) = (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
1716breq2d 5123 . . . . . 6 (π‘₯ = ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) β†’ ((π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)) ↔ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
1817ralbidv 3171 . . . . 5 (π‘₯ = ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
1918rspcev 3583 . . . 4 ((((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
2011, 15, 19syl2anc 585 . . 3 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
216, 20jca 513 . 2 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
22 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐿)
237, 8, 3lnof 29761 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
241, 2, 23mp3an12 1452 . . . . . 6 (𝑇 ∈ 𝐿 β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
257, 8, 9nmoxr 29772 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
261, 2, 25mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
27263ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
28 recn 11151 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2928abscld 15334 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3029rexrd 11215 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
31303ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
32 pnfxr 11219 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 29779 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ≀ (absβ€˜π‘₯))
35 ltpnf 13051 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π‘₯) < +∞)
3629, 35syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π‘₯) < +∞)
37363ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ (absβ€˜π‘₯) < +∞)
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 13090 . . . . . 6 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) < +∞)
3924, 38syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) < +∞)
409, 3, 4isblo 29788 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) < +∞)))
411, 2, 40mp2an 691 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) < +∞))
4222, 39, 41sylanbrc 584 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
4342rexlimdv3a 3153 . . 3 (𝑇 ∈ 𝐿 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡))
4443imp 408 . 2 ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
4521, 44impbii 208 1 (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5111  βŸΆwf 6498  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  β„cr 11060   Β· cmul 11066  +∞cpnf 11196  β„*cxr 11198   < clt 11199   ≀ cle 11200  abscabs 15132  NrmCVeccnv 29590  BaseSetcba 29592  normCVcnmcv 29596   LnOp clno 29746   normOpOLD cnmoo 29747   BLnOp cblo 29748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-er 8656  df-map 8775  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-sup 9388  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-rp 12926  df-seq 13918  df-exp 13979  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134  df-grpo 29499  df-gid 29500  df-ginv 29501  df-ablo 29551  df-vc 29565  df-nv 29598  df-va 29601  df-ba 29602  df-sm 29603  df-0v 29604  df-nmcv 29606  df-lno 29750  df-nmoo 29751  df-blo 29752  df-0o 29753
This theorem is referenced by:  blo3i  29808  blocnilem  29810
  Copyright terms: Public domain W3C validator