Theorem isblo3i 30888

Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
isblo3i.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
isblo3i.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
isblo3i	⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isblo3i.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		isblo3i.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
3		isblo3i.4	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
4		isblo3i.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
5	3, 4	bloln 30871	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)
6	1, 2, 5	mp3an12 1454	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ 𝐿)
7		isblo3i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
10	7, 8, 9, 4	nmblore 30873	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	mp3an12 1454	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
12		isblo3i.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
13		isblo3i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
14	7, 12, 13, 9, 4, 1, 2	nmblolbi 30887	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
15	14	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
16		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) = (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
17	16	breq2d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
18	17	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
19	18	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
20	11, 15, 19	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
21	6, 20	jca 511	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))
22		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐿)
23	7, 8, 3	lnof 30842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
24	1, 2, 23	mp3an12 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
25	7, 8, 9	nmoxr 30853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
26	1, 2, 25	mp3an12 1454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
27	26	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
28		recn 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	abscld 15374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	rexrd 11194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
31	30	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 11198	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
34	7, 8, 12, 13, 9, 1, 2	nmoub3i 30860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ≤ (abs‘𝑥))
35		ltpnf 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
37	36	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) < +∞)
38	27, 31, 33, 34, 37	xrlelttrd 13086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
39	24, 38	syl3an1 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
40	9, 3, 4	isblo 30869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
41	1, 2, 40	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞))
42	22, 39, 41	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
43	42	rexlimdv3a 3143	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) → 𝑇 ∈ 𝐵))
44	43	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
45	21, 44	impbii 209	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   · cmul 11043  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  abscabs 15169  NrmCVeccnv 30671  BaseSetcba 30673  norm_CVcnmcv 30677   LnOp clno 30827   normOp_OLD cnmoo 30828   BLnOp cblo 30829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-nmcv 30687  df-lno 30831  df-nmoo 30832  df-blo 30833  df-0o 30834

This theorem is referenced by:  blo3i  30889  blocnilem  30891