Theorem isblo3i 31182

Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
isblo3i.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
isblo3i.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
isblo3i	⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isblo3i.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		isblo3i.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
3		isblo3i.4	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
4		isblo3i.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
5	3, 4	bloln 31165	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)
6	1, 2, 5	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ 𝐿)
7		isblo3i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
9		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
10	7, 8, 9, 4	nmblore 31167	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
12		isblo3i.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
13		isblo3i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
14	7, 12, 13, 9, 4, 1, 2	nmblolbi 31181	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
15	14	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
16		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) = (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
17	16	breq2d 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
18	17	ralbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
19	18	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
20	11, 15, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
21	6, 20	jca 521	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))
22		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐿)
23	7, 8, 3	lnof 31136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
24	1, 2, 23	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
25	7, 8, 9	nmoxr 31147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
26	1, 2, 25	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
28		recn 11201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	abscld 15509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	rexrd 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
31	30	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 11274	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
34	7, 8, 12, 13, 9, 1, 2	nmoub3i 31154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ≤ (abs‘𝑥))
35		ltpnf 13156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
36	29, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
37	36	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) < +∞)
38	27, 31, 33, 34, 37	xrlelttrd 13196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
39	24, 38	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
40	9, 3, 4	isblo 31163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
41	1, 2, 40	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞))
42	22, 39, 41	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
43	42	rexlimdv3a 3172	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) → 𝑇 ∈ 𝐵))
44	43	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
45	21, 44	impbii 212	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110   · cmul 11116  +∞cpnf 11251  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  abscabs 15304  NrmCVeccnv 30965  BaseSetcba 30967  norm_CVcnmcv 30971   LnOp clno 31121   normOp_OLD cnmoo 31122   BLnOp cblo 31123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-grpo 30874  df-gid 30875  df-ginv 30876  df-ablo 30926  df-vc 30940  df-nv 30973  df-va 30976  df-ba 30977  df-sm 30978  df-0v 30979  df-nmcv 30981  df-lno 31125  df-nmoo 31126  df-blo 31127  df-0o 31128

This theorem is used by:  blo3i  31183  blocnilem  31185