Theorem isblo3i 31282

Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
isblo3i.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
isblo3i.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
isblo3i	⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isblo3i.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		isblo3i.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
3		isblo3i.4	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
4		isblo3i.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
5	3, 4	bloln 31265	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)
6	1, 2, 5	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ 𝐿)
7		isblo3i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
10	7, 8, 9, 4	nmblore 31267	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
12		isblo3i.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
13		isblo3i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
14	7, 12, 13, 9, 4, 1, 2	nmblolbi 31281	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
15	14	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
16		oveq1 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) = (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
17	16	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
18	17	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
19	18	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
20	11, 15, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
21	6, 20	jca 521	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))
22		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐿)
23	7, 8, 3	lnof 31236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
24	1, 2, 23	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
25	7, 8, 9	nmoxr 31247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
26	1, 2, 25	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
28		recn 11214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	abscld 15526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	rexrd 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
31	30	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 11287	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
34	7, 8, 12, 13, 9, 1, 2	nmoub3i 31254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ≤ (abs‘𝑥))
35		ltpnf 13171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
36	29, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
37	36	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) < +∞)
38	27, 31, 33, 34, 37	xrlelttrd 13211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
39	24, 38	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
40	9, 3, 4	isblo 31263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
41	1, 2, 40	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞))
42	22, 39, 41	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
43	42	rexlimdv3a 3167	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) → 𝑇 ∈ 𝐵))
44	43	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
45	21, 44	impbii 212	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123   · cmul 11129  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  abscabs 15321  NrmCVeccnv 31065  BaseSetcba 31067  norm_CVcnmcv 31071   LnOp clno 31221   normOp_OLD cnmoo 31222   BLnOp cblo 31223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ginv 30976  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-nmcv 31081  df-lno 31225  df-nmoo 31226  df-blo 31227  df-0o 31228

This theorem is used by:  blo3i  31283  blocnilem  31285