Theorem isblo3i 29064

Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
isblo3i.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
isblo3i.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
isblo3i	⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isblo3i.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		isblo3i.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
3		isblo3i.4	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
4		isblo3i.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
5	3, 4	bloln 29047	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)
6	1, 2, 5	mp3an12 1449	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ 𝐿)
7		isblo3i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
10	7, 8, 9, 4	nmblore 29049	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	mp3an12 1449	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
12		isblo3i.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
13		isblo3i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
14	7, 12, 13, 9, 4, 1, 2	nmblolbi 29063	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
15	14	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
16		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) = (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦)))
17	16	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
18	17	ralbidv 3120	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))))
19	18	rspcev 3552	. . . 4 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
20	11, 15, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
21	6, 20	jca 511	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))
22		simp1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐿)
23	7, 8, 3	lnof 29018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
24	1, 2, 23	mp3an12 1449	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
25	7, 8, 9	nmoxr 29029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
26	1, 2, 25	mp3an12 1449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
27	26	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
28		recn 10892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	abscld 15076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	rexrd 10956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
31	30	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 10960	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
34	7, 8, 12, 13, 9, 1, 2	nmoub3i 29036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ≤ (abs‘𝑥))
35		ltpnf 12785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
37	36	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → (abs‘𝑥) < +∞)
38	27, 31, 33, 34, 37	xrlelttrd 12823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
39	24, 38	syl3an1 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
40	9, 3, 4	isblo 29045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
41	1, 2, 40	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞))
42	22, 39, 41	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
43	42	rexlimdv3a 3214	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) → 𝑇 ∈ 𝐵))
44	43	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
45	21, 44	impbii 208	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  abscabs 14873  NrmCVeccnv 28847  BaseSetcba 28849  norm_CVcnmcv 28853   LnOp clno 29003   normOp_OLD cnmoo 29004   BLnOp cblo 29005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-nmcv 28863  df-lno 29007  df-nmoo 29008  df-blo 29009  df-0o 29010

This theorem is referenced by:  blo3i  29065  blocnilem  29067