MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isblo3i 30054
Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
isblo3i.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
isblo3i.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
isblo3i.4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
isblo3i.5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
isblo3i.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
isblo3i.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
isblo3i (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
2 isblo3i.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
3 isblo3i.4 . . . . 5 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
4 isblo3i.5 . . . . 5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
53, 4bloln 30037 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ 𝐿)
61, 2, 5mp3an12 1452 . . 3 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ 𝑇 ∈ 𝐿)
7 isblo3i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘ˆ normOpOLD π‘Š) = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
107, 8, 9, 4nmblore 30039 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
111, 2, 10mp3an12 1452 . . . 4 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
12 isblo3i.m . . . . . 6 𝑀 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
13 isblo3i.n . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 30053 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
1514ralrimiva 3147 . . . 4 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
16 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) β†’ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)) = (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
1716breq2d 5161 . . . . . 6 (π‘₯ = ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) β†’ ((π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)) ↔ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
1817ralbidv 3178 . . . . 5 (π‘₯ = ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
1918rspcev 3613 . . . 4 ((((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
2011, 15, 19syl2anc 585 . . 3 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)))
216, 20jca 513 . 2 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
22 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐿)
237, 8, 3lnof 30008 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
241, 2, 23mp3an12 1452 . . . . . 6 (𝑇 ∈ 𝐿 β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
257, 8, 9nmoxr 30019 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
261, 2, 25mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
27263ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
28 recn 11200 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2928abscld 15383 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3029rexrd 11264 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
31303ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
32 pnfxr 11268 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 30026 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ≀ (absβ€˜π‘₯))
35 ltpnf 13100 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π‘₯) < +∞)
3629, 35syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π‘₯) < +∞)
37363ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ (absβ€˜π‘₯) < +∞)
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 13139 . . . . . 6 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) < +∞)
3924, 38syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) < +∞)
409, 3, 4isblo 30035 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) < +∞)))
411, 2, 40mp2an 691 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) < +∞))
4222, 39, 41sylanbrc 584 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
4342rexlimdv3a 3160 . . 3 (𝑇 ∈ 𝐿 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡))
4443imp 408 . 2 ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
4521, 44impbii 208 1 (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (π‘€β€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  abscabs 15181  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839  normCVcnmcv 29843   LnOp clno 29993   normOpOLD cnmoo 29994   BLnOp cblo 29995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-lno 29997  df-nmoo 29998  df-blo 29999  df-0o 30000
This theorem is referenced by:  blo3i  30055  blocnilem  30057
  Copyright terms: Public domain W3C validator