MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isblo3i 30820
Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m 𝑀 = (normCV𝑈)
isblo3i.n 𝑁 = (normCV𝑊)
isblo3i.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
isblo3i (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
2 isblo3i.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
3 isblo3i.4 . . . . 5 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
4 isblo3i.5 . . . . 5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
53, 4bloln 30803 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇𝐿)
61, 2, 5mp3an12 1453 . . 3 (𝑇𝐵𝑇𝐿)
7 isblo3i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
107, 8, 9, 4nmblore 30805 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
111, 2, 10mp3an12 1453 . . . 4 (𝑇𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
12 isblo3i.m . . . . . 6 𝑀 = (normCV𝑈)
13 isblo3i.n . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑊)
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 30819 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑦𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦)))
1514ralrimiva 3146 . . . 4 (𝑇𝐵 → ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦)))
16 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (𝑥 · (𝑀𝑦)) = (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦)))
1716breq2d 5155 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → ((𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦))))
1817ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦))))
1918rspcev 3622 . . . 4 ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)))
2011, 15, 19syl2anc 584 . . 3 (𝑇𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)))
216, 20jca 511 . 2 (𝑇𝐵 → (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
22 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑇𝐿𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐿)
237, 8, 3lnof 30774 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
241, 2, 23mp3an12 1453 . . . . . 6 (𝑇𝐿𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
257, 8, 9nmoxr 30785 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
261, 2, 25mp3an12 1453 . . . . . . . 8 (𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
27263ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
28 recn 11245 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2928abscld 15475 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
3029rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
31303ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
32 pnfxr 11315 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 30792 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ≤ (abs‘𝑥))
35 ltpnf 13162 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
3629, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
37363ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → (abs‘𝑥) < +∞)
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 13202 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
3924, 38syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝑇𝐿𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
409, 3, 4isblo 30801 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
411, 2, 40mp2an 692 . . . . 5 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞))
4222, 39, 41sylanbrc 583 . . . 4 ((𝑇𝐿𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐵)
4342rexlimdv3a 3159 . . 3 (𝑇𝐿 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) → 𝑇𝐵))
4443imp 406 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐵)
4521, 44impbii 209 1 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  abscabs 15273  NrmCVeccnv 30603  BaseSetcba 30605  normCVcnmcv 30609   LnOp clno 30759   normOpOLD cnmoo 30760   BLnOp cblo 30761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-lno 30763  df-nmoo 30764  df-blo 30765  df-0o 30766
This theorem is referenced by:  blo3i  30821  blocnilem  30823
  Copyright terms: Public domain W3C validator