MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isblo2 30301
Description: The predicate "is a bounded linear operator." (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bloval.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
bloval.4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
bloval.5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isblo2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)))
Proof of Theorem isblo2
StepHypRef Expression
1 bloval.3 . . 3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
2 bloval.4 . . 3 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
3 bloval.5 . . 3 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
41, 2, 3isblo 30300 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜π‘‡) < +∞)))
5 eqid 2730 . . . . . 6 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2730 . . . . . 6 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
75, 6, 2lnof 30273 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š))
85, 6, 1nmoreltpnf 30287 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (π‘β€˜π‘‡) < +∞))
97, 8syld3an3 1407 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (π‘β€˜π‘‡) < +∞))
1093expa 1116 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (π‘β€˜π‘‡) < +∞))
1110pm5.32da 577 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ) ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜π‘‡) < +∞)))
124, 11bitr4d 281 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„cr 11113  +∞cpnf 11251   < clt 11254  NrmCVeccnv 30102  BaseSetcba 30104   LnOp clno 30258   normOpOLD cnmoo 30259   BLnOp cblo 30260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-nmcv 30118  df-lno 30262  df-nmoo 30263  df-blo 30264
This theorem is referenced by:  0blo  30310
  Copyright terms: Public domain W3C validator