Theorem htthlem 31280

Description: Lemma for htth 31281. The collection 𝐾, which consists of functions 𝐹(𝑧)(𝑤) = ⟨𝑤 ∣ 𝑇(𝑧)⟩ = ⟨𝑇(𝑤) ∣ 𝑧⟩ for each 𝑧 in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 31218, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 31236, there is a uniform bound 𝑦 on ∥ 𝐹(𝑥) ∥ for all 𝑥 in the unit ball. Then ∣ 𝑇(𝑥) ∣ ↑2 = ⟨𝑇(𝑥) ∣ 𝑇(𝑥)⟩ = 𝐹(𝑥)( 𝑇(𝑥)) ≤ 𝑦 ∣ 𝑇(𝑥) ∣, so ∣ 𝑇(𝑥) ∣ ≤ 𝑦 and 𝑇 is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
htth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
htth.2	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
htth.3	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
htth.4	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
htthlem.5	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
htthlem.6	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
htthlem.7	⊢ 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
htthlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
htthlem.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
htthlem.10	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))))
htthlem.11	⊢ 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})

Assertion

Ref	Expression
htthlem	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐹   𝑥,𝑤,𝑧,𝐾,𝑦   𝑤,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑧   𝑤,𝑊,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑃(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑧)   𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem htthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
2		htthlem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
3	2	hlnvi 31255	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		htth.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		htth.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
6	4, 4, 5	lnof 31118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑋)
7	3, 3, 6	mp3an12 1479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶𝑋)
8	1, 7	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝑋⟶𝑋)
9	8	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋)
10		htthlem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
11	4, 10	nvcl 31024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
12	3, 9, 11	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	8	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑧) ∈ 𝑋)
14		htth.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15		hlph 31252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
17		htthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
18		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
19		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧)))
20	4, 14, 16, 17, 18, 19	ipblnfi 31218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ 𝑋 → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
21	13, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22		htthlem.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))))
23	21, 22	fmptd 7109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊))
24	23	ffund 6710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun 𝐹)
26		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐾 → 𝑤 ∈ 𝐾)
27		htthlem.11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})
28	26, 27	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐾 → 𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}))
29		fvelima 6946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})) → ∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤)
30	25, 28, 29	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤)
31	30	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ 𝐾 → ∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤))
32		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑁‘𝑧) = (𝑁‘𝑦))
33	32	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑁‘𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁‘𝑦) ≤ 1))
34	33	elrab 3649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1))
35		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘𝑦))
36	35	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))
37	36	mpteq2dv 5204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦))))
38	37, 22, 4	mptfvmpt 7226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑦) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦))))
39	38	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))‘𝑥))
40		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
41		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))
42		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ∈ V
43	40, 41, 42	fvmpt 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
44	39, 43	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
45	44	ad2ant2lr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
46		htthlem.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
47		rsp2 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)))
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)))
49	48	impl 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
50	49	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
51	45, 50	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
52	51	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) = (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)))
53		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ 𝑋)
54	4, 14	dipcl 31075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
55	3, 54	mp3an1 1476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
56	9, 53, 55	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
57	56	abscld 15497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ∈ ℝ)
58	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
59	4, 10	nvcl 31024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
60	3, 59	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
61	60	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
62	58, 61	remulcld 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
63	4, 10, 14, 16	sii 31217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)))
64	9, 53, 63	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)))
65		1red 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
66	4, 10	nvge0 31036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
67	3, 9, 66	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
68	12, 67	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
69	68	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
70		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑦) ≤ 1)
71		lemul2a 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))) ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · 1))
72	61, 65, 69, 70, 71	syl31anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · 1))
73	58	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
74	73	mulridd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · 1) = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
75	72, 74	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
76	57, 62, 58, 64, 75	letrd 11373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
77	52, 76	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
78	34, 77	sylan2b 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}) → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
79		fveq1 6880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = (𝑤‘𝑥))
80	79	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) = (abs‘(𝑤‘𝑥)))
81	80	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → ((abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
82	78, 81	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}) → ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
83	82	rexlimdva 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
84	31, 83	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ 𝐾 → (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
85	84	ralrimiv 3155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
86		brralrspcev 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧)
87	12, 85, 86	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧)
88	87	ralrimiva 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧)
89		imassrn 6072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}) ⊆ ran 𝐹
90	27, 89	eqsstri 3982	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ⊆ ran 𝐹
91	23	frnd 6714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
92	90, 91	sstrid 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
93		hlobn 31251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CBan)
94	2, 93	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
95	17	cnnv 31040	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
96	17	cnnvnm 31044	. . . . . . . . 9 ⊢ abs = (normCV‘𝑊)
97		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
98	4, 96, 97	ubth 31236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
99	94, 95, 98	mp3an12 1479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
100	92, 99	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
101	88, 100	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦)
102		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘𝑧) = (𝑁‘𝑥))
103	102	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁‘𝑥) ≤ 1))
104	103	elrab 3649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1))
105	104	bilanri 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})
106	22, 21	dmmptd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
107	106	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
108	107	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
109		funfvima 7228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
110	24, 109	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
111	108, 110	syldan 602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
112	111	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
113	105, 112	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}))
114	113, 27	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾)
115		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑥) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
116	115	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑥) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦))
117	116	rspcv 3576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦))
118	114, 117	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦))
119	12	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
120	119, 119	remulcld 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
121	23	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
122	17	cnnvba 31042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑊)
123	4, 122, 97, 18	nmblore 31149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
124	3, 95, 123	mp3an12 1479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
125	121, 124	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
126	125	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
127	126, 119	remulcld 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
128		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
129	128, 119	remulcld 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
130		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘𝑥))
131	130	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))
132	131	mpteq2dv 5204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))))
133	132, 22, 4	mptfvmpt 7226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))))
134	133	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))))
135	134	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))‘(𝑇‘𝑥)))
136		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑇‘𝑥) → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
137		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))
138		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)) ∈ V
139	136, 137, 138	fvmpt 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
140	9, 139	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
141	135, 140	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
142	141	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
143	9	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋)
144	4, 10, 14	ipidsq 31073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
145	3, 143, 144	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
146	142, 145	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
147	146	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) = (abs‘((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2)))
148		resqcl 14167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
149		sqge0 14179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
150	148, 149	absidd 15481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
151	119, 150	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
152	119	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
153	152	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
154	147, 151, 153	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
155	121	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
156	4, 10, 96, 97, 18, 3, 95	nmblolbi 31163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
157	155, 143, 156	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
158	154, 157	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
159	3, 143, 66	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
160		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)
161	126, 128, 119, 159, 160	lemul1ad 12160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
162	120, 127, 129, 158, 161	letrd 11373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
163		lemul1 12073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))))
164	163	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
165	164	3expia 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
166	165	expdimp 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
167	119, 128, 119, 166	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
168	162, 167	mpid 45	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
169		0red 11217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
170	4, 122, 18	blof 31148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
171	3, 95, 170	mp3an12 1479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
172	121, 171	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
173	172	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
174	4, 122, 97	nmooge0 31130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
175	3, 95, 174	mp3an12 1479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
176	173, 175	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
177	169, 126, 128, 176, 160	letrd 11373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
178		breq1 5111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
179	177, 178	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
180		0re 11216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
181		leloe 11302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))))
182	180, 119, 181	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))))
183	159, 182	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
184	168, 179, 183	mpjaod 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)
185	184	expr 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
186	185	adantrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
187	118, 186	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
188	187	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
189	188	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
190	189	ralrimdva 3164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
191	190	reximdva 3177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
192	101, 191	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
193		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
194	4, 4, 10, 10, 193, 3, 3	nmobndi 31138	. . . . 5 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑋 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
195	8, 194	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
196	192, 195	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ)
197		ltpnf 13151	. . 3 ⊢ (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
198	196, 197	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
199		htth.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
200	193, 5, 199	isblo 31145	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)))
201	3, 3, 200	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞))
202	1, 198, 201	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415   ⊆ wss 3904  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5660  ran crn 5661   “ cima 5663  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  +∞cpnf 11246   < clt 11249   ≤ cle 11250  2c2 12301  ↑cexp 14104  abscabs 15292  NrmCVeccnv 30947  BaseSetcba 30949  norm_CVcnmcv 30953  ·_𝑖OLDcdip 31063   LnOp clno 31103   normOp_OLD cnmoo 31104   BLnOp cblo 31105  CPreHil_OLDccphlo 31175  CBanccbn 31225  CHil_OLDchlo 31248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-dc 10436  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-lm 23397  df-t1 23482  df-haus 23483  df-cmp 23555  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-fcls 24109  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-cfil 25425  df-cau 25426  df-cmet 25427  df-grpo 30856  df-gid 30857  df-ginv 30858  df-gdiv 30859  df-ablo 30908  df-vc 30922  df-nv 30955  df-va 30958  df-ba 30959  df-sm 30960  df-0v 30961  df-vs 30962  df-nmcv 30963  df-ims 30964  df-dip 31064  df-lno 31107  df-nmoo 31108  df-blo 31109  df-0o 31110  df-ph 31176  df-cbn 31226  df-hlo 31249

This theorem is used by:  htth  31281