Theorem htthlem 31008

Description: Lemma for htth 31009. The collection 𝐾, which consists of functions 𝐹(𝑧)(𝑤) = ⟨𝑤 ∣ 𝑇(𝑧)⟩ = ⟨𝑇(𝑤) ∣ 𝑧⟩ for each 𝑧 in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 30946, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 30964, there is a uniform bound 𝑦 on ∥ 𝐹(𝑥) ∥ for all 𝑥 in the unit ball. Then ∣ 𝑇(𝑥) ∣ ↑2 = ⟨𝑇(𝑥) ∣ 𝑇(𝑥)⟩ = 𝐹(𝑥)( 𝑇(𝑥)) ≤ 𝑦 ∣ 𝑇(𝑥) ∣, so ∣ 𝑇(𝑥) ∣ ≤ 𝑦 and 𝑇 is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
htth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
htth.2	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
htth.3	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
htth.4	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
htthlem.5	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
htthlem.6	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
htthlem.7	⊢ 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
htthlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
htthlem.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
htthlem.10	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))))
htthlem.11	⊢ 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})

Assertion

Ref	Expression
htthlem	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐹   𝑥,𝑤,𝑧,𝐾,𝑦   𝑤,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑧   𝑤,𝑊,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem htthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
2		htthlem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
3	2	hlnvi 30983	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		htth.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		htth.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
6	4, 4, 5	lnof 30846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑋)
7	3, 3, 6	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶𝑋)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝑋⟶𝑋)
9	8	ffvelcdmda 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋)
10		htthlem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
11	4, 10	nvcl 30752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
12	3, 9, 11	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	8	ffvelcdmda 7028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑧) ∈ 𝑋)
14		htth.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15		hlph 30980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
17		htthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
18		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
19		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧)))
20	4, 14, 16, 17, 18, 19	ipblnfi 30946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ 𝑋 → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22		htthlem.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))))
23	21, 22	fmptd 7058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊))
24	23	ffund 6664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun 𝐹)
26		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐾 → 𝑤 ∈ 𝐾)
27		htthlem.11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})
28	26, 27	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐾 → 𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}))
29		fvelima 6897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})) → ∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤)
30	25, 28, 29	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤)
31	30	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ 𝐾 → ∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤))
32		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑁‘𝑧) = (𝑁‘𝑦))
33	32	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑁‘𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁‘𝑦) ≤ 1))
34	33	elrab 3635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1))
35		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘𝑦))
36	35	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))
37	36	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦))))
38	37, 22, 4	mptfvmpt 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑦) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦))))
39	38	fveq1d 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))‘𝑥))
40		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
41		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))
42		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ∈ V
43	40, 41, 42	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
44	39, 43	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
45	44	ad2ant2lr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
46		htthlem.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
47		rsp2 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)))
49	48	impl 455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
50	49	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
51	45, 50	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
52	51	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) = (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)))
53		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ 𝑋)
54	4, 14	dipcl 30803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
55	3, 54	mp3an1 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
56	9, 53, 55	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
57	56	abscld 15390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ∈ ℝ)
58	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
59	4, 10	nvcl 30752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
60	3, 59	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
61	60	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
62	58, 61	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
63	4, 10, 14, 16	sii 30945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)))
64	9, 53, 63	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)))
65		1red 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
66	4, 10	nvge0 30764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
67	3, 9, 66	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
68	12, 67	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
70		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑦) ≤ 1)
71		lemul2a 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))) ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · 1))
72	61, 65, 69, 70, 71	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · 1))
73	58	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
74	73	mulridd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · 1) = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
75	72, 74	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
76	57, 62, 58, 64, 75	letrd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
77	52, 76	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
78	34, 77	sylan2b 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}) → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
79		fveq1 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = (𝑤‘𝑥))
80	79	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) = (abs‘(𝑤‘𝑥)))
81	80	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → ((abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
82	78, 81	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}) → ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
83	82	rexlimdva 3139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
84	31, 83	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ 𝐾 → (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
85	84	ralrimiv 3129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
86		brralrspcev 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧)
87	12, 85, 86	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧)
88	87	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧)
89		imassrn 6028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}) ⊆ ran 𝐹
90	27, 89	eqsstri 3969	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ⊆ ran 𝐹
91	23	frnd 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
92	90, 91	sstrid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
93		hlobn 30979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CBan)
94	2, 93	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
95	17	cnnv 30768	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
96	17	cnnvnm 30772	. . . . . . . . 9 ⊢ abs = (normCV‘𝑊)
97		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
98	4, 96, 97	ubth 30964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
99	94, 95, 98	mp3an12 1454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
100	92, 99	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
101	88, 100	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1))
103		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘𝑧) = (𝑁‘𝑥))
104	103	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁‘𝑥) ≤ 1))
105	104	elrab 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1))
106	102, 105	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})
107	22, 21	dmmptd 6635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
108	107	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
109	108	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
110		funfvima 7176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
111	24, 110	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
112	109, 111	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
113	112	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
114	106, 113	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}))
115	114, 27	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾)
116		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑥) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
117	116	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑥) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦))
118	117	rspcv 3561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦))
119	115, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦))
120	12	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
121	120, 120	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
122	23	ffvelcdmda 7028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
123	17	cnnvba 30770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑊)
124	4, 123, 97, 18	nmblore 30877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
125	3, 95, 124	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
126	122, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
127	126	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
128	127, 120	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
129		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
130	129, 120	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
131		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘𝑥))
132	131	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))
133	132	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))))
134	133, 22, 4	mptfvmpt 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))))
135	134	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))))
136	135	fveq1d 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))‘(𝑇‘𝑥)))
137		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑇‘𝑥) → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
138		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))
139		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)) ∈ V
140	137, 138, 139	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
141	9, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
142	136, 141	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
143	142	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
144	9	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋)
145	4, 10, 14	ipidsq 30801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
146	3, 144, 145	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
147	143, 146	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
148	147	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) = (abs‘((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2)))
149		resqcl 14075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
150		sqge0 14087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
151	149, 150	absidd 15374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
152	120, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
153	120	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
154	153	sqvald 14094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
155	148, 152, 154	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
156	122	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
157	4, 10, 96, 97, 18, 3, 95	nmblolbi 30891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
158	156, 144, 157	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
159	155, 158	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
160	3, 144, 66	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
161		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)
162	127, 129, 120, 160, 161	lemul1ad 12084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
163	121, 128, 130, 159, 162	letrd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
164		lemul1 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))))
165	164	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
166	165	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
167	166	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
168	120, 129, 120, 167	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
169	163, 168	mpid 44	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
170		0red 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
171	4, 123, 18	blof 30876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
172	3, 95, 171	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
173	122, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
174	173	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
175	4, 123, 97	nmooge0 30858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
176	3, 95, 175	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
177	174, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
178	170, 127, 129, 177, 161	letrd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
179		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
180	178, 179	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
181		0re 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
182		leloe 11221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))))
183	181, 120, 182	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))))
184	160, 183	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
185	169, 180, 184	mpjaod 861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)
186	185	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
187	186	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
188	119, 187	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
189	188	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
190	189	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
191	190	ralrimdva 3138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
192	191	reximdva 3151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
193	101, 192	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
194		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
195	4, 4, 10, 10, 194, 3, 3	nmobndi 30866	. . . . 5 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑋 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
196	8, 195	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
197	193, 196	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ)
198		ltpnf 13060	. . 3 ⊢ (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
199	197, 198	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
200		htth.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
201	194, 5, 200	isblo 30873	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)))
202	3, 3, 201	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞))
203	1, 199, 202	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  ran crn 5623   “ cima 5625  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  +∞cpnf 11165   < clt 11168   ≤ cle 11169  2c2 12225  ↑cexp 14012  abscabs 15185  NrmCVeccnv 30675  BaseSetcba 30677  norm_CVcnmcv 30681  ·_𝑖OLDcdip 30791   LnOp clno 30831   normOp_OLD cnmoo 30832   BLnOp cblo 30833  CPreHil_OLDccphlo 30903  CBanccbn 30953  CHil_OLDchlo 30976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-dc 10357  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-cnfld 21343  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-cld 22993  df-ntr 22994  df-cls 22995  df-nei 23072  df-cn 23201  df-cnp 23202  df-lm 23203  df-t1 23288  df-haus 23289  df-cmp 23361  df-tx 23536  df-hmeo 23729  df-fil 23820  df-fm 23912  df-flim 23913  df-flf 23914  df-fcls 23915  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cncf 24854  df-cfil 25231  df-cau 25232  df-cmet 25233  df-grpo 30584  df-gid 30585  df-ginv 30586  df-gdiv 30587  df-ablo 30636  df-vc 30650  df-nv 30683  df-va 30686  df-ba 30687  df-sm 30688  df-0v 30689  df-vs 30690  df-nmcv 30691  df-ims 30692  df-dip 30792  df-lno 30835  df-nmoo 30836  df-blo 30837  df-0o 30838  df-ph 30904  df-cbn 30954  df-hlo 30977

This theorem is referenced by:  htth  31009