MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htthlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htthlem 29859
Description: Lemma for htth 29860. The collection 𝐾, which consists of functions 𝐹(𝑧)(𝑤) = ⟨𝑤𝑇(𝑧)⟩ = ⟨𝑇(𝑤) ∣ 𝑧 for each 𝑧 in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 29797, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 29815, there is a uniform bound 𝑦 on 𝐹(𝑥) ∥ for all 𝑥 in the unit ball. Then 𝑇(𝑥) ∣ ↑2 = ⟨𝑇(𝑥) ∣ 𝑇(𝑥)⟩ = 𝐹(𝑥)( 𝑇(𝑥)) ≤ 𝑦𝑇(𝑥) ∣, so 𝑇(𝑥) ∣ ≤ 𝑦 and 𝑇 is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
htth.2 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
htth.3 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
htth.4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
htthlem.5 𝑁 = (normCV𝑈)
htthlem.6 𝑈 ∈ CHilOLD
htthlem.7 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
htthlem.8 (𝜑𝑇𝐿)
htthlem.9 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
htthlem.10 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
htthlem.11 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
Assertion
Ref Expression
htthlem (𝜑𝑇𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐹   𝑥,𝑤,𝑧,𝐾,𝑦   𝑤,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑧   𝑤,𝑊,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2 (𝜑𝑇𝐿)
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ CHilOLD
32hlnvi 29834 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
64, 4, 5lnof 29697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑋)
73, 3, 6mp3an12 1451 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐿𝑇:𝑋𝑋)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇:𝑋𝑋)
98ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
10 htthlem.5 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑈)
114, 10nvcl 29603 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
123, 9, 11sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
138ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑇𝑧) ∈ 𝑋)
14 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
15 hlph 29831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CPreHilOLD)
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 ∈ CPreHilOLD
17 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
18 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
19 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧)))
204, 14, 16, 17, 18, 19ipblnfi 29797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑧) ∈ 𝑋 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
2321, 22fmptd 7062 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊))
2423ffund 6672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐾𝑤𝐾)
27 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
2826, 27eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝐾𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
29 fvelima 6908 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3025, 28, 29syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑤𝐾) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3130ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤))
32 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑦))
3332breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑦) ≤ 1))
3433elrab 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1))
35 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑦))
3635oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
3736mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
3837, 22, 4mptfvmpt 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
3938fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑋 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥))
40 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
42 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4439, 43sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4544ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
46 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
47 rsp2 3260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
4948impl 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5049adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5145, 50eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5251fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
53 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → 𝑦𝑋)
544, 14dipcl 29654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
553, 54mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
569, 53, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
5756abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ∈ ℝ)
5812adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
594, 10nvcl 29603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
603, 59mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑋 → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6160ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
634, 10, 14, 16sii 29796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
649, 53, 63syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
65 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
664, 10nvge0 29615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
673, 9, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
6812, 67jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
70 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ≤ 1)
71 lemul2a 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))) ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7261, 65, 69, 70, 71syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7358recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
7473mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1) = (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7572, 74breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7657, 62, 58, 64, 75letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7752, 76eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7834, 77sylan2b 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
79 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑤𝑥))
8079fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
8180breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8278, 81syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8382rexlimdva 3152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8431, 83syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8584ralrimiv 3142 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
86 brralrspcev 5165 . . . . . . . 8 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
8712, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
8887ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
89 imassrn 6024 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) ⊆ ran 𝐹
9027, 89eqsstri 3978 . . . . . . . 8 𝐾 ⊆ ran 𝐹
9123frnd 6676 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
9290, 91sstrid 3955 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
93 hlobn 29830 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CBan)
942, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ CBan
9517cnnv 29619 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ NrmCVec
9617cnnvnm 29623 . . . . . . . . 9 abs = (normCV𝑊)
97 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
984, 96, 97ubth 29815 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
9994, 95, 98mp3an12 1451 . . . . . . 7 (𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10092, 99syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10188, 100mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦)
102 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
103 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑥 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑥))
104103breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑥) ≤ 1))
105104elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
106102, 105sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
10722, 21dmmptd 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
108107eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑋))
109108biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
110 funfvima 7180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
11124, 110sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
112109, 111syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
113112ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
114106, 113mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
115114, 27eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
116 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
117116breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
118117rspcv 3577 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
12012ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
121120, 120remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
12223ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
12317cnnvba 29621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = (BaseSet‘𝑊)
1244, 123, 97, 18nmblore 29728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
1253, 95, 124mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
126122, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
127126ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
128127, 120remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
129 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
130129, 120remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
131 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑥))
132131oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
133132mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
134133, 22, 4mptfvmpt 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
135134adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
136135fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)))
137 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑇𝑥) → (𝑤𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
138 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
139 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) ∈ V
140137, 138, 139fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇𝑥) ∈ 𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1419, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
142136, 141eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
143142ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1449ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
1454, 10, 14ipidsq 29652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
1463, 144, 145sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
147143, 146eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
148147fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)))
149 resqcl 14029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) ∈ ℝ)
150 sqge0 14041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
151149, 150absidd 15307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
152120, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
153120recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
154153sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
155148, 152, 1543eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
156122ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
1574, 10, 96, 97, 18, 3, 95nmblolbi 29742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
158156, 144, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
159155, 158eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
1603, 144, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
161 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)
162127, 129, 120, 160, 161lemul1ad 12094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
163121, 128, 130, 159, 162letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
164 lemul1 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
165164biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
1661653expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
167166expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
168120, 129, 120, 167syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
169163, 168mpid 44 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
170 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
1714, 123, 18blof 29727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1723, 95, 171mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
173122, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
174173ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1754, 123, 97nmooge0 29709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
1763, 95, 175mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
177174, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
178170, 127, 129, 177, 161letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
179 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
180178, 179syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
181 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
182 leloe 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
183181, 120, 182sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
184160, 183mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥))))
185169, 180, 184mpjaod 858 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)
186185expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
187186adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
188119, 187syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
189188expr 457 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
190189com23 86 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
191190ralrimdva 3151 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
192191reximdva 3165 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
193101, 192mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
194 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
1954, 4, 10, 10, 194, 3, 3nmobndi 29717 . . . . 5 (𝑇:𝑋𝑋 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
1968, 195syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
197193, 196mpbird 256 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ)
198 ltpnf 13041 . . 3 (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
199197, 198syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
200 htth.4 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
201194, 5, 200isblo 29724 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)))
2023, 3, 201mp2an 690 . 2 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞))
2031, 199, 202sylanbrc 583 1 (𝜑𝑇𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  2c2 12208  cexp 13967  abscabs 15119  NrmCVeccnv 29526  BaseSetcba 29528  normCVcnmcv 29532  ·𝑖OLDcdip 29642   LnOp clno 29682   normOpOLD cnmoo 29683   BLnOp cblo 29684  CPreHilOLDccphlo 29754  CBanccbn 29804  CHilOLDchlo 29827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-dc 10382  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-t1 22665  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-fcls 23292  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-lno 29686  df-nmoo 29687  df-blo 29688  df-0o 29689  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hlo 29828
This theorem is referenced by:  htth  29860
  Copyright terms: Public domain W3C validator