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Theorem htthlem 30946
Description: Lemma for htth 30947. The collection 𝐾, which consists of functions 𝐹(𝑧)(𝑤) = ⟨𝑤𝑇(𝑧)⟩ = ⟨𝑇(𝑤) ∣ 𝑧 for each 𝑧 in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 30884, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 30902, there is a uniform bound 𝑦 on 𝐹(𝑥) ∥ for all 𝑥 in the unit ball. Then 𝑇(𝑥) ∣ ↑2 = ⟨𝑇(𝑥) ∣ 𝑇(𝑥)⟩ = 𝐹(𝑥)( 𝑇(𝑥)) ≤ 𝑦𝑇(𝑥) ∣, so 𝑇(𝑥) ∣ ≤ 𝑦 and 𝑇 is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
htth.2 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
htth.3 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
htth.4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
htthlem.5 𝑁 = (normCV𝑈)
htthlem.6 𝑈 ∈ CHilOLD
htthlem.7 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
htthlem.8 (𝜑𝑇𝐿)
htthlem.9 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
htthlem.10 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
htthlem.11 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
Assertion
Ref Expression
htthlem (𝜑𝑇𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐹   𝑥,𝑤,𝑧,𝐾,𝑦   𝑤,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑧   𝑤,𝑊,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2 (𝜑𝑇𝐿)
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ CHilOLD
32hlnvi 30921 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
64, 4, 5lnof 30784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑋)
73, 3, 6mp3an12 1450 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐿𝑇:𝑋𝑋)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇:𝑋𝑋)
98ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
10 htthlem.5 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑈)
114, 10nvcl 30690 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
123, 9, 11sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
138ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑇𝑧) ∈ 𝑋)
14 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
15 hlph 30918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CPreHilOLD)
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 ∈ CPreHilOLD
17 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
18 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
19 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧)))
204, 14, 16, 17, 18, 19ipblnfi 30884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑧) ∈ 𝑋 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
2321, 22fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊))
2423ffund 6741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐾𝑤𝐾)
27 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
2826, 27eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝐾𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
29 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3025, 28, 29syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑤𝐾) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3130ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤))
32 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑦))
3332breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑦) ≤ 1))
3433elrab 3695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1))
35 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑦))
3635oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
3736mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
3837, 22, 4mptfvmpt 7248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
3938fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑋 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥))
40 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
41 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
42 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4439, 43sylan9eqr 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4544ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
46 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
47 rsp2 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
4948impl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5049adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5145, 50eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5251fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
53 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → 𝑦𝑋)
544, 14dipcl 30741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
553, 54mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
569, 53, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
5756abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ∈ ℝ)
5812adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
594, 10nvcl 30690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
603, 59mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑋 → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6160ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
634, 10, 14, 16sii 30883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
649, 53, 63syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
65 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
664, 10nvge0 30702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
673, 9, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
6812, 67jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
70 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ≤ 1)
71 lemul2a 12120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))) ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7261, 65, 69, 70, 71syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7358recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
7473mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1) = (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7572, 74breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7657, 62, 58, 64, 75letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7752, 76eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7834, 77sylan2b 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
79 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑤𝑥))
8079fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
8180breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8278, 81syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8382rexlimdva 3153 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8431, 83syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8584ralrimiv 3143 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
86 brralrspcev 5208 . . . . . . . 8 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
8712, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
8887ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
89 imassrn 6091 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) ⊆ ran 𝐹
9027, 89eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝐾 ⊆ ran 𝐹
9123frnd 6745 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
9290, 91sstrid 4007 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
93 hlobn 30917 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CBan)
942, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ CBan
9517cnnv 30706 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ NrmCVec
9617cnnvnm 30710 . . . . . . . . 9 abs = (normCV𝑊)
97 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
984, 96, 97ubth 30902 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
9994, 95, 98mp3an12 1450 . . . . . . 7 (𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10092, 99syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10188, 100mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
103 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑥 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑥))
104103breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑥) ≤ 1))
105104elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
106102, 105sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
10722, 21dmmptd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
108107eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑋))
109108biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
110 funfvima 7250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
11124, 110sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
112109, 111syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
113112ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
114106, 113mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
115114, 27eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
116 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
117116breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
118117rspcv 3618 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
12012ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
121120, 120remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
12223ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
12317cnnvba 30708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = (BaseSet‘𝑊)
1244, 123, 97, 18nmblore 30815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
1253, 95, 124mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
126122, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
127126ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
128127, 120remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
129 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
130129, 120remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
131 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑥))
132131oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
133132mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
134133, 22, 4mptfvmpt 7248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
136135fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)))
137 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑇𝑥) → (𝑤𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
138 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
139 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) ∈ V
140137, 138, 139fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇𝑥) ∈ 𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1419, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
142136, 141eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
143142ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1449ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
1454, 10, 14ipidsq 30739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
1463, 144, 145sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
147143, 146eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
148147fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)))
149 resqcl 14161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) ∈ ℝ)
150 sqge0 14173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
151149, 150absidd 15458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
152120, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
153120recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
154153sqvald 14180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
155148, 152, 1543eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
156122ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
1574, 10, 96, 97, 18, 3, 95nmblolbi 30829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
158156, 144, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
159155, 158eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
1603, 144, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
161 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)
162127, 129, 120, 160, 161lemul1ad 12205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
163121, 128, 130, 159, 162letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
164 lemul1 12117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
165164biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
1661653expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
167166expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
168120, 129, 120, 167syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
169163, 168mpid 44 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
170 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
1714, 123, 18blof 30814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1723, 95, 171mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
173122, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
174173ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1754, 123, 97nmooge0 30796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
1763, 95, 175mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
177174, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
178170, 127, 129, 177, 161letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
179 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
180178, 179syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
181 0re 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
182 leloe 11345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
183181, 120, 182sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
184160, 183mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥))))
185169, 180, 184mpjaod 860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)
186185expr 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
187186adantrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
188119, 187syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
189188expr 456 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
190189com23 86 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
191190ralrimdva 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
192191reximdva 3166 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
193101, 192mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
194 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
1954, 4, 10, 10, 194, 3, 3nmobndi 30804 . . . . 5 (𝑇:𝑋𝑋 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
1968, 195syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
197193, 196mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ)
198 ltpnf 13160 . . 3 (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
199197, 198syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
200 htth.4 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
201194, 5, 200isblo 30811 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)))
2023, 3, 201mp2an 692 . 2 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞))
2031, 199, 202sylanbrc 583 1 (𝜑𝑇𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  cop 4637   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  cexp 14099  abscabs 15270  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  normCVcnmcv 30619  ·𝑖OLDcdip 30729   LnOp clno 30769   normOpOLD cnmoo 30770   BLnOp cblo 30771  CPreHilOLDccphlo 30841  CBanccbn 30891  CHilOLDchlo 30914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-dc 10484  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-t1 23338  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-fcls 23965  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-lno 30773  df-nmoo 30774  df-blo 30775  df-0o 30776  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hlo 30915
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