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Theorem htthlem 30936
Description: Lemma for htth 30937. The collection 𝐾, which consists of functions 𝐹(𝑧)(𝑤) = ⟨𝑤𝑇(𝑧)⟩ = ⟨𝑇(𝑤) ∣ 𝑧 for each 𝑧 in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 30874, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 30892, there is a uniform bound 𝑦 on 𝐹(𝑥) ∥ for all 𝑥 in the unit ball. Then 𝑇(𝑥) ∣ ↑2 = ⟨𝑇(𝑥) ∣ 𝑇(𝑥)⟩ = 𝐹(𝑥)( 𝑇(𝑥)) ≤ 𝑦𝑇(𝑥) ∣, so 𝑇(𝑥) ∣ ≤ 𝑦 and 𝑇 is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
htth.2 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
htth.3 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
htth.4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
htthlem.5 𝑁 = (normCV𝑈)
htthlem.6 𝑈 ∈ CHilOLD
htthlem.7 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
htthlem.8 (𝜑𝑇𝐿)
htthlem.9 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
htthlem.10 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
htthlem.11 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
Assertion
Ref Expression
htthlem (𝜑𝑇𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐹   𝑥,𝑤,𝑧,𝐾,𝑦   𝑤,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑧   𝑤,𝑊,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2 (𝜑𝑇𝐿)
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ CHilOLD
32hlnvi 30911 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
64, 4, 5lnof 30774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑋)
73, 3, 6mp3an12 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐿𝑇:𝑋𝑋)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇:𝑋𝑋)
98ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
10 htthlem.5 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑈)
114, 10nvcl 30680 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
123, 9, 11sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
138ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑇𝑧) ∈ 𝑋)
14 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
15 hlph 30908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CPreHilOLD)
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 ∈ CPreHilOLD
17 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
18 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧)))
204, 14, 16, 17, 18, 19ipblnfi 30874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑧) ∈ 𝑋 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
2321, 22fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊))
2423ffund 6740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐾𝑤𝐾)
27 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
2826, 27eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝐾𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
29 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3025, 28, 29syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑤𝐾) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3130ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤))
32 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑦))
3332breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑦) ≤ 1))
3433elrab 3692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1))
35 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑦))
3635oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
3736mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
3837, 22, 4mptfvmpt 7248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
3938fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑋 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥))
40 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
42 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4439, 43sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4544ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
46 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
47 rsp2 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
4948impl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5049adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5145, 50eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5251fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
53 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → 𝑦𝑋)
544, 14dipcl 30731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
553, 54mp3an1 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
569, 53, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
5756abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ∈ ℝ)
5812adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
594, 10nvcl 30680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
603, 59mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑋 → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6160ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
634, 10, 14, 16sii 30873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
649, 53, 63syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
65 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
664, 10nvge0 30692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
673, 9, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
6812, 67jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
70 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ≤ 1)
71 lemul2a 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))) ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7261, 65, 69, 70, 71syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7358recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
7473mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1) = (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7572, 74breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7657, 62, 58, 64, 75letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7752, 76eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7834, 77sylan2b 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
79 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑤𝑥))
8079fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
8180breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8278, 81syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8382rexlimdva 3155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8431, 83syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8584ralrimiv 3145 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
86 brralrspcev 5203 . . . . . . . 8 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
8712, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
8887ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
89 imassrn 6089 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) ⊆ ran 𝐹
9027, 89eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝐾 ⊆ ran 𝐹
9123frnd 6744 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
9290, 91sstrid 3995 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
93 hlobn 30907 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CBan)
942, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ CBan
9517cnnv 30696 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ NrmCVec
9617cnnvnm 30700 . . . . . . . . 9 abs = (normCV𝑊)
97 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
984, 96, 97ubth 30892 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
9994, 95, 98mp3an12 1453 . . . . . . 7 (𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10092, 99syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10188, 100mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
103 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑥 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑥))
104103breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑥) ≤ 1))
105104elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
106102, 105sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
10722, 21dmmptd 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
108107eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑋))
109108biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
110 funfvima 7250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
11124, 110sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
112109, 111syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
113112ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
114106, 113mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
115114, 27eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
116 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
117116breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
118117rspcv 3618 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
12012ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
121120, 120remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
12223ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
12317cnnvba 30698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = (BaseSet‘𝑊)
1244, 123, 97, 18nmblore 30805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
1253, 95, 124mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
126122, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
127126ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
128127, 120remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
129 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
130129, 120remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
131 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑥))
132131oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
133132mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
134133, 22, 4mptfvmpt 7248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
136135fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)))
137 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑇𝑥) → (𝑤𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
138 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
139 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) ∈ V
140137, 138, 139fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇𝑥) ∈ 𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1419, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
142136, 141eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
143142ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1449ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
1454, 10, 14ipidsq 30729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
1463, 144, 145sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
147143, 146eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
148147fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)))
149 resqcl 14164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) ∈ ℝ)
150 sqge0 14176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
151149, 150absidd 15461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
152120, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
153120recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
154153sqvald 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
155148, 152, 1543eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
156122ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
1574, 10, 96, 97, 18, 3, 95nmblolbi 30819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
158156, 144, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
159155, 158eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
1603, 144, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
161 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)
162127, 129, 120, 160, 161lemul1ad 12207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
163121, 128, 130, 159, 162letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
164 lemul1 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
165164biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
1661653expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
167166expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
168120, 129, 120, 167syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
169163, 168mpid 44 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
170 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
1714, 123, 18blof 30804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1723, 95, 171mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
173122, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
174173ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1754, 123, 97nmooge0 30786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
1763, 95, 175mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
177174, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
178170, 127, 129, 177, 161letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
179 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
180178, 179syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
181 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
182 leloe 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
183181, 120, 182sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
184160, 183mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥))))
185169, 180, 184mpjaod 861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)
186185expr 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
187186adantrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
188119, 187syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
189188expr 456 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
190189com23 86 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
191190ralrimdva 3154 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
192191reximdva 3168 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
193101, 192mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
194 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
1954, 4, 10, 10, 194, 3, 3nmobndi 30794 . . . . 5 (𝑇:𝑋𝑋 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
1968, 195syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
197193, 196mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ)
198 ltpnf 13162 . . 3 (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
199197, 198syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
200 htth.4 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
201194, 5, 200isblo 30801 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)))
2023, 3, 201mp2an 692 . 2 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞))
2031, 199, 202sylanbrc 583 1 (𝜑𝑇𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  cop 4632   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  cexp 14102  abscabs 15273  NrmCVeccnv 30603  BaseSetcba 30605  normCVcnmcv 30609  ·𝑖OLDcdip 30719   LnOp clno 30759   normOpOLD cnmoo 30760   BLnOp cblo 30761  CPreHilOLDccphlo 30831  CBanccbn 30881  CHilOLDchlo 30904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-dc 10486  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-t1 23322  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-fcls 23949  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-lno 30763  df-nmoo 30764  df-blo 30765  df-0o 30766  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hlo 30905
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