Theorem htthlem 29180

Description: Lemma for htth 29181. The collection 𝐾, which consists of functions 𝐹(𝑧)(𝑤) = ⟨𝑤 ∣ 𝑇(𝑧)⟩ = ⟨𝑇(𝑤) ∣ 𝑧⟩ for each 𝑧 in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 29118, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 29136, there is a uniform bound 𝑦 on ∥ 𝐹(𝑥) ∥ for all 𝑥 in the unit ball. Then ∣ 𝑇(𝑥) ∣ ↑2 = ⟨𝑇(𝑥) ∣ 𝑇(𝑥)⟩ = 𝐹(𝑥)( 𝑇(𝑥)) ≤ 𝑦 ∣ 𝑇(𝑥) ∣, so ∣ 𝑇(𝑥) ∣ ≤ 𝑦 and 𝑇 is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
htth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
htth.2	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
htth.3	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
htth.4	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
htthlem.5	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
htthlem.6	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
htthlem.7	⊢ 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
htthlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
htthlem.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
htthlem.10	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))))
htthlem.11	⊢ 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})

Assertion

Ref	Expression
htthlem	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐹   𝑥,𝑤,𝑧,𝐾,𝑦   𝑤,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑧   𝑤,𝑊,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem htthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
2		htthlem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
3	2	hlnvi 29155	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		htth.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		htth.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
6	4, 4, 5	lnof 29018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑋)
7	3, 3, 6	mp3an12 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶𝑋)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝑋⟶𝑋)
9	8	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋)
10		htthlem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
11	4, 10	nvcl 28924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
12	3, 9, 11	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	8	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑧) ∈ 𝑋)
14		htth.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15		hlph 29152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
17		htthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
18		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
19		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧)))
20	4, 14, 16, 17, 18, 19	ipblnfi 29118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ 𝑋 → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22		htthlem.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))))
23	21, 22	fmptd 6970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊))
24	23	ffund 6588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun 𝐹)
26		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐾 → 𝑤 ∈ 𝐾)
27		htthlem.11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})
28	26, 27	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐾 → 𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}))
29		fvelima 6817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})) → ∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤)
30	25, 28, 29	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤)
31	30	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ 𝐾 → ∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤))
32		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑁‘𝑧) = (𝑁‘𝑦))
33	32	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑁‘𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁‘𝑦) ≤ 1))
34	33	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1))
35		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘𝑦))
36	35	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))
37	36	mpteq2dv 5172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦))))
38	37, 22, 4	mptfvmpt 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑦) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦))))
39	38	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))‘𝑥))
40		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
41		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))
42		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ∈ V
43	40, 41, 42	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
44	39, 43	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
45	44	ad2ant2lr 744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
46		htthlem.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
47		rsp2 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)))
49	48	impl 455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
50	49	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
51	45, 50	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦))
52	51	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) = (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)))
53		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ 𝑋)
54	4, 14	dipcl 28975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
55	3, 54	mp3an1 1446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
56	9, 53, 55	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
57	56	abscld 15076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ∈ ℝ)
58	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
59	4, 10	nvcl 28924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
60	3, 59	mpan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
61	60	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
62	58, 61	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
63	4, 10, 14, 16	sii 29117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)))
64	9, 53, 63	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)))
65		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
66	4, 10	nvge0 28936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
67	3, 9, 66	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
68	12, 67	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
70		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑦) ≤ 1)
71		lemul2a 11760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))) ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · 1))
72	61, 65, 69, 70, 71	syl31anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · 1))
73	58	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
74	73	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · 1) = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
75	72, 74	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
76	57, 62, 58, 64, 75	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇‘𝑥)𝑃𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
77	52, 76	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
78	34, 77	sylan2b 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}) → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
79		fveq1 6755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑥) = (𝑤‘𝑥))
80	79	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) = (abs‘(𝑤‘𝑥)))
81	80	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → ((abs‘((𝐹‘𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
82	78, 81	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}) → ((𝐹‘𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
83	82	rexlimdva 3212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} (𝐹‘𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
84	31, 83	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ 𝐾 → (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
85	84	ralrimiv 3106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
86		brralrspcev 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧)
87	12, 85, 86	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧)
88	87	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧)
89		imassrn 5969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}) ⊆ ran 𝐹
90	27, 89	eqsstri 3951	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ⊆ ran 𝐹
91	23	frnd 6592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
92	90, 91	sstrid 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
93		hlobn 29151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CBan)
94	2, 93	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
95	17	cnnv 28940	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
96	17	cnnvnm 28944	. . . . . . . . 9 ⊢ abs = (normCV‘𝑊)
97		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
98	4, 96, 97	ubth 29136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
99	94, 95, 98	mp3an12 1449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
100	92, 99	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (abs‘(𝑤‘𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
101	88, 100	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1))
103		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘𝑧) = (𝑁‘𝑥))
104	103	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁‘𝑥) ≤ 1))
105	104	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1))
106	102, 105	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})
107	22, 21	dmmptd 6562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
108	107	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
109	108	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
110		funfvima 7088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
111	24, 110	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
112	109, 111	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
113	112	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1} → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1})))
114	106, 113	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑁‘𝑧) ≤ 1}))
115	114, 27	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾)
116		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑥) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
117	116	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑥) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦))
118	117	rspcv 3547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦))
119	115, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦))
120	12	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
121	120, 120	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
122	23	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
123	17	cnnvba 28942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑊)
124	4, 123, 97, 18	nmblore 29049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
125	3, 95, 124	mp3an12 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
126	122, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
127	126	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
128	127, 120	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
129		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
130	129, 120	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
131		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘𝑥))
132	131	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))
133	132	mpteq2dv 5172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑧))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))))
134	133, 22, 4	mptfvmpt 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))))
135	134	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))))
136	135	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))‘(𝑇‘𝑥)))
137		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑇‘𝑥) → (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
138		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥))) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))
139		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)) ∈ V
140	137, 138, 139	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
141	9, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇‘𝑥)))‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
142	136, 141	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
143	142	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)))
144	9	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋)
145	4, 10, 14	ipidsq 28973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
146	3, 144, 145	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑇‘𝑥)𝑃(𝑇‘𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
147	143, 146	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
148	147	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) = (abs‘((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2)))
149		resqcl 13772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
150		sqge0 13783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
151	149, 150	absidd 15062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
152	120, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2))
153	120	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
154	153	sqvald 13789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
155	148, 152, 154	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
156	122	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
157	4, 10, 96, 97, 18, 3, 95	nmblolbi 29063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
158	156, 144, 157	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑥)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
159	155, 158	eqbrtrrd 5094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
160	3, 144, 66	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))
161		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)
162	127, 129, 120, 160, 161	lemul1ad 11844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
163	121, 128, 130, 159, 162	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
164		lemul1 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))) → ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))))
165	164	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
166	165	3expia 1119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
167	166	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
168	120, 129, 120, 167	syl21anc 834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇‘𝑥)) · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇‘𝑥))) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
169	163, 168	mpid 44	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
170		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
171	4, 123, 18	blof 29048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
172	3, 95, 171	mp3an12 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
173	122, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
174	173	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ)
175	4, 123, 97	nmooge0 29030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
176	3, 95, 175	mp3an12 1449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥):𝑋⟶ℂ → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
177	174, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)))
178	170, 127, 129, 177, 161	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
179		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
180	178, 179	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
181		0re 10908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
182		leloe 10992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))))
183	181, 120, 182	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥)))))
184	160, 183	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇‘𝑥))))
185	169, 180, 184	mpjaod 856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)
186	185	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
187	186	adantrr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
188	119, 187	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
189	188	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
190	189	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
191	190	ralrimdva 3112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
192	191	reximdva 3202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
193	101, 192	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦))
194		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
195	4, 4, 10, 10, 194, 3, 3	nmobndi 29038	. . . . 5 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑋 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
196	8, 195	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝑦)))
197	193, 196	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ)
198		ltpnf 12785	. . 3 ⊢ (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
199	197, 198	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
200		htth.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
201	194, 5, 200	isblo 29045	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)))
202	3, 3, 201	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞))
203	1, 199, 202	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   < clt 10940   ≤ cle 10941  2c2 11958  ↑cexp 13710  abscabs 14873  NrmCVeccnv 28847  BaseSetcba 28849  norm_CVcnmcv 28853  ·_𝑖OLDcdip 28963   LnOp clno 29003   normOp_OLD cnmoo 29004   BLnOp cblo 29005  CPreHil_OLDccphlo 29075  CBanccbn 29125  CHil_OLDchlo 29148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-dc 10133  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-t1 22373  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-fcls 23000  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-lno 29007  df-nmoo 29008  df-blo 29009  df-0o 29010  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hlo 29149

This theorem is referenced by:  htth  29181