MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htthlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htthlem 30747
Description: Lemma for htth 30748. The collection 𝐾, which consists of functions 𝐹(𝑧)(𝑤) = ⟨𝑤𝑇(𝑧)⟩ = ⟨𝑇(𝑤) ∣ 𝑧 for each 𝑧 in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 30685, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 30703, there is a uniform bound 𝑦 on 𝐹(𝑥) ∥ for all 𝑥 in the unit ball. Then 𝑇(𝑥) ∣ ↑2 = ⟨𝑇(𝑥) ∣ 𝑇(𝑥)⟩ = 𝐹(𝑥)( 𝑇(𝑥)) ≤ 𝑦𝑇(𝑥) ∣, so 𝑇(𝑥) ∣ ≤ 𝑦 and 𝑇 is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
htth.2 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
htth.3 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
htth.4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
htthlem.5 𝑁 = (normCV𝑈)
htthlem.6 𝑈 ∈ CHilOLD
htthlem.7 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
htthlem.8 (𝜑𝑇𝐿)
htthlem.9 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
htthlem.10 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
htthlem.11 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
Assertion
Ref Expression
htthlem (𝜑𝑇𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐹   𝑥,𝑤,𝑧,𝐾,𝑦   𝑤,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑧   𝑤,𝑊,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2 (𝜑𝑇𝐿)
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ CHilOLD
32hlnvi 30722 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
64, 4, 5lnof 30585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑋)
73, 3, 6mp3an12 1447 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐿𝑇:𝑋𝑋)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇:𝑋𝑋)
98ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
10 htthlem.5 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑈)
114, 10nvcl 30491 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
123, 9, 11sylancr 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
138ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑇𝑧) ∈ 𝑋)
14 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
15 hlph 30719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CPreHilOLD)
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 ∈ CPreHilOLD
17 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
18 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
19 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧)))
204, 14, 16, 17, 18, 19ipblnfi 30685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑧) ∈ 𝑋 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
2321, 22fmptd 7129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊))
2423ffund 6731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐾𝑤𝐾)
27 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
2826, 27eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝐾𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
29 fvelima 6969 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3025, 28, 29syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑤𝐾) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3130ex 411 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤))
32 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑦))
3332breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑦) ≤ 1))
3433elrab 3684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1))
35 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑦))
3635oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
3736mpteq2dv 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
3837, 22, 4mptfvmpt 7246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
3938fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑋 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥))
40 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
41 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
42 ovex 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4439, 43sylan9eqr 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4544ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
46 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
47 rsp2 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
4948impl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5049adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5145, 50eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5251fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
53 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → 𝑦𝑋)
544, 14dipcl 30542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
553, 54mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
569, 53, 55syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
5756abscld 15423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ∈ ℝ)
5812adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
594, 10nvcl 30491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
603, 59mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑋 → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6160ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
634, 10, 14, 16sii 30684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
649, 53, 63syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
65 1red 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
664, 10nvge0 30503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
673, 9, 66sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
6812, 67jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
6968adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
70 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ≤ 1)
71 lemul2a 12107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))) ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7261, 65, 69, 70, 71syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7358recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
7473mulridd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1) = (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7572, 74breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7657, 62, 58, 64, 75letrd 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7752, 76eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7834, 77sylan2b 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
79 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑤𝑥))
8079fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
8180breq1d 5162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8278, 81syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8382rexlimdva 3152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8431, 83syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8584ralrimiv 3142 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
86 brralrspcev 5212 . . . . . . . 8 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
8712, 85, 86syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
8887ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
89 imassrn 6079 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) ⊆ ran 𝐹
9027, 89eqsstri 4016 . . . . . . . 8 𝐾 ⊆ ran 𝐹
9123frnd 6735 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
9290, 91sstrid 3993 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
93 hlobn 30718 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CBan)
942, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ CBan
9517cnnv 30507 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ NrmCVec
9617cnnvnm 30511 . . . . . . . . 9 abs = (normCV𝑊)
97 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
984, 96, 97ubth 30703 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
9994, 95, 98mp3an12 1447 . . . . . . 7 (𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10092, 99syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10188, 100mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦)
102 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
103 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑥 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑥))
104103breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑥) ≤ 1))
105104elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
106102, 105sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
10722, 21dmmptd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
108107eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑋))
109108biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
110 funfvima 7248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
11124, 110sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
112109, 111syldan 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
113112ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
114106, 113mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
115114, 27eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
116 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
117116breq1d 5162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
118117rspcv 3607 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
12012ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
121120, 120remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
12223ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
12317cnnvba 30509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = (BaseSet‘𝑊)
1244, 123, 97, 18nmblore 30616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
1253, 95, 124mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
126122, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
127126ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
128127, 120remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
129 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
130129, 120remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
131 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑥))
132131oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
133132mpteq2dv 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
134133, 22, 4mptfvmpt 7246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
135134adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
136135fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)))
137 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑇𝑥) → (𝑤𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
138 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
139 ovex 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) ∈ V
140137, 138, 139fvmpt 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇𝑥) ∈ 𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1419, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
142136, 141eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
143142ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1449ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
1454, 10, 14ipidsq 30540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
1463, 144, 145sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
147143, 146eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
148147fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)))
149 resqcl 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) ∈ ℝ)
150 sqge0 14140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
151149, 150absidd 15409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
152120, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
153120recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
154153sqvald 14147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
155148, 152, 1543eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
156122ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
1574, 10, 96, 97, 18, 3, 95nmblolbi 30630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
158156, 144, 157syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
159155, 158eqbrtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
1603, 144, 66sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
161 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)
162127, 129, 120, 160, 161lemul1ad 12191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
163121, 128, 130, 159, 162letrd 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
164 lemul1 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
165164biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
1661653expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
167166expdimp 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
168120, 129, 120, 167syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
169163, 168mpid 44 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
170 0red 11255 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
1714, 123, 18blof 30615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1723, 95, 171mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
173122, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
174173ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1754, 123, 97nmooge0 30597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
1763, 95, 175mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
177174, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
178170, 127, 129, 177, 161letrd 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
179 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
180178, 179syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
181 0re 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
182 leloe 11338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
183181, 120, 182sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
184160, 183mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥))))
185169, 180, 184mpjaod 858 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)
186185expr 455 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
187186adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
188119, 187syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
189188expr 455 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
190189com23 86 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
191190ralrimdva 3151 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
192191reximdva 3165 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
193101, 192mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
194 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
1954, 4, 10, 10, 194, 3, 3nmobndi 30605 . . . . 5 (𝑇:𝑋𝑋 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
1968, 195syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
197193, 196mpbird 256 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ)
198 ltpnf 13140 . . 3 (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
199197, 198syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
200 htth.4 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
201194, 5, 200isblo 30612 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)))
2023, 3, 201mp2an 690 . 2 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞))
2031, 199, 202sylanbrc 581 1 (𝜑𝑇𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  {crab 3430  wss 3949  cop 4638   class class class wbr 5152  cmpt 5235  dom cdm 5682  ran crn 5683  cima 5685  Fun wfun 6547  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  +∞cpnf 11283   < clt 11286  cle 11287  2c2 12305  cexp 14066  abscabs 15221  NrmCVeccnv 30414  BaseSetcba 30416  normCVcnmcv 30420  ·𝑖OLDcdip 30530   LnOp clno 30570   normOpOLD cnmoo 30571   BLnOp cblo 30572  CPreHilOLDccphlo 30642  CBanccbn 30692  CHilOLDchlo 30715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-dc 10477  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-lm 23153  df-t1 23238  df-haus 23239  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-fcls 23865  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-cfil 25203  df-cau 25204  df-cmet 25205  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430  df-ims 30431  df-dip 30531  df-lno 30574  df-nmoo 30575  df-blo 30576  df-0o 30577  df-ph 30643  df-cbn 30693  df-hlo 30716
This theorem is referenced by:  htth  30748
  Copyright terms: Public domain W3C validator