Theorem bloln 31165

Description: A bounded operator is a linear operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bloln.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
bloln.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
bloln	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)

Proof of Theorem bloln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2		bloln.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
3		bloln.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
4	1, 2, 3	isblo 31163	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
5	4	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)
6	5	3impa 1127	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  +∞cpnf 11251   < clt 11254  NrmCVeccnv 30965   LnOp clno 31121   normOp_OLD cnmoo 31122   BLnOp cblo 31123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-blo 31127

This theorem is used by:  blof  31166  nmblolbii  31180  isblo3i  31182  blometi  31184  blocn2  31189  ubthlem2  31252