Theorem bloln 30719

Description: A bounded operator is a linear operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bloln.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
bloln.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
bloln	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)

Proof of Theorem bloln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2		bloln.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
3		bloln.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
4	1, 2, 3	isblo 30717	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
5	4	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)
6	5	3impa 1109	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  +∞cpnf 11211   < clt 11214  NrmCVeccnv 30519   LnOp clno 30675   normOp_OLD cnmoo 30676   BLnOp cblo 30677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-blo 30681

This theorem is referenced by:  blof  30720  nmblolbii  30734  isblo3i  30736  blometi  30738  blocn2  30743  ubthlem2  30806