Theorem bloln 31117

Description: A bounded operator is a linear operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bloln.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
bloln.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
bloln	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)

Proof of Theorem bloln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2		bloln.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
3		bloln.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
4	1, 2, 3	isblo 31115	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
5	4	simprbda 503	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)
6	5	3impa 1127	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  +∞cpnf 11241   < clt 11244  NrmCVeccnv 30917   LnOp clno 31073   normOp_OLD cnmoo 31074   BLnOp cblo 31075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-blo 31079

This theorem is referenced by:  blof  31118  nmblolbii  31132  isblo3i  31134  blometi  31136  blocn2  31141  ubthlem2  31204