Theorem nmblore 31104

Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblore.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblore.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmblore.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblore.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmblore	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmblore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmblore.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nmblore.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmblore.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
4	1, 2, 3	blof 31103	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
5		nmblore.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6	1, 2, 5	nmogtmnf 31088	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → -∞ < (𝑁‘𝑇))
7	4, 6	syld3an3 1434	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → -∞ < (𝑁‘𝑇))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
9	5, 8, 3	isblo 31100	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))
10	9	simplbda 504	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) < +∞)
11	10	3impa 1125	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) < +∞)
12	1, 2, 5	nmoxr 31084	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ*)
13	4, 12	syld3an3 1434	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ*)
14		xrrebnd 13193	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ* → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁‘𝑇) ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁‘𝑇) ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))
16	7, 11, 15	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  +∞cpnf 11239  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  NrmCVeccnv 30902  BaseSetcba 30904   LnOp clno 31058   normOp_OLD cnmoo 31059   BLnOp cblo 31060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-grpo 30811  df-gid 30812  df-ginv 30813  df-ablo 30863  df-vc 30877  df-nv 30910  df-va 30913  df-ba 30914  df-sm 30915  df-0v 30916  df-nmcv 30918  df-lno 31062  df-nmoo 31063  df-blo 31064

This theorem is referenced by:  nmblolbii  31117  isblo3i  31119  blocni  31123  htthlem  31235