Theorem nmblore 31149

Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblore.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblore.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmblore.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblore.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmblore	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmblore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmblore.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nmblore.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmblore.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
4	1, 2, 3	blof 31148	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
5		nmblore.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6	1, 2, 5	nmogtmnf 31133	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → -∞ < (𝑁‘𝑇))
7	4, 6	syld3an3 1435	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → -∞ < (𝑁‘𝑇))
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
9	5, 8, 3	isblo 31145	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))
10	9	simplbda 504	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) < +∞)
11	10	3impa 1126	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) < +∞)
12	1, 2, 5	nmoxr 31129	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ*)
13	4, 12	syld3an3 1435	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ*)
14		xrrebnd 13200	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ* → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁‘𝑇) ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁‘𝑇) ∧ (𝑁‘𝑇) < +∞)))
16	7, 11, 15	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249  NrmCVeccnv 30947  BaseSetcba 30949   LnOp clno 31103   normOp_OLD cnmoo 31104   BLnOp cblo 31105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-grpo 30856  df-gid 30857  df-ginv 30858  df-ablo 30908  df-vc 30922  df-nv 30955  df-va 30958  df-ba 30959  df-sm 30960  df-0v 30961  df-nmcv 30963  df-lno 31107  df-nmoo 31108  df-blo 31109

This theorem is used by:  nmblolbii  31162  isblo3i  31164  blocni  31168  htthlem  31280