Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblore Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmblore 28567
 Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblore.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblore.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmblore.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblore.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmblore ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmblore
StepHypRef Expression
1 nmblore.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmblore.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmblore.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
41, 2, 3blof 28566 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)
5 nmblore.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
61, 2, 5nmogtmnf 28551 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))
74, 6syld3an3 1406 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → -∞ < (𝑁𝑇))
8 eqid 2822 . . . . 5 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
95, 8, 3isblo 28563 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑁𝑇) < +∞)))
109simplbda 503 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) < +∞)
11103impa 1107 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) < +∞)
121, 2, 5nmoxr 28547 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
134, 12syld3an3 1406 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
14 xrrebnd 12549 . . 3 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ* → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁𝑇) ∧ (𝑁𝑇) < +∞)))
1513, 14syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁𝑇) ∧ (𝑁𝑇) < +∞)))
167, 11, 15mpbir2and 712 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ*cxr 10663   < clt 10664  NrmCVeccnv 28365  BaseSetcba 28367   LnOp clno 28521   normOpOLD cnmoo 28522   BLnOp cblo 28523 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-grpo 28274  df-gid 28275  df-ginv 28276  df-ablo 28326  df-vc 28340  df-nv 28373  df-va 28376  df-ba 28377  df-sm 28378  df-0v 28379  df-nmcv 28381  df-lno 28525  df-nmoo 28526  df-blo 28527 This theorem is referenced by:  nmblolbii  28580  isblo3i  28582  blocni  28586  htthlem  28698
 Copyright terms: Public domain W3C validator