MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblore Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmblore 30017
Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblore.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblore.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmblore.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblore.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmblore ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmblore
StepHypRef Expression
1 nmblore.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmblore.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmblore.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
41, 2, 3blof 30016 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)
5 nmblore.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
61, 2, 5nmogtmnf 30001 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))
74, 6syld3an3 1410 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → -∞ < (𝑁𝑇))
8 eqid 2733 . . . . 5 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
95, 8, 3isblo 30013 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑁𝑇) < +∞)))
109simplbda 501 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) < +∞)
11103impa 1111 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) < +∞)
121, 2, 5nmoxr 29997 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
134, 12syld3an3 1410 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
14 xrrebnd 13143 . . 3 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ* → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁𝑇) ∧ (𝑁𝑇) < +∞)))
1513, 14syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁𝑇) ∧ (𝑁𝑇) < +∞)))
167, 11, 15mpbir2and 712 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5147  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  *cxr 11243   < clt 11244  NrmCVeccnv 29815  BaseSetcba 29817   LnOp clno 29971   normOpOLD cnmoo 29972   BLnOp cblo 29973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-nmcv 29831  df-lno 29975  df-nmoo 29976  df-blo 29977
This theorem is referenced by:  nmblolbii  30030  isblo3i  30032  blocni  30036  htthlem  30148
  Copyright terms: Public domain W3C validator