MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblore Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmblore 30294
Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblore.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmblore.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmblore.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmblore.5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
nmblore ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
Proof of Theorem nmblore
StepHypRef Expression
1 nmblore.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nmblore.2 . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3 nmblore.5 . . . 4 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
41, 2, 3blof 30293 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
5 nmblore.3 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
61, 2, 5nmogtmnf 30278 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ -∞ < (π‘β€˜π‘‡))
74, 6syld3an3 1409 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ -∞ < (π‘β€˜π‘‡))
8 eqid 2732 . . . . 5 (π‘ˆ LnOp π‘Š) = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
95, 8, 3isblo 30290 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ (𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š) ∧ (π‘β€˜π‘‡) < +∞)))
109simplbda 500 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‡) < +∞)
11103impa 1110 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‡) < +∞)
121, 2, 5nmoxr 30274 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
134, 12syld3an3 1409 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
14 xrrebnd 13151 . . 3 ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ* β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (π‘β€˜π‘‡) ∧ (π‘β€˜π‘‡) < +∞)))
1513, 14syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (π‘β€˜π‘‡) ∧ (π‘β€˜π‘‡) < +∞)))
167, 11, 15mpbir2and 711 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252  NrmCVeccnv 30092  BaseSetcba 30094   LnOp clno 30248   normOpOLD cnmoo 30249   BLnOp cblo 30250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-nmcv 30108  df-lno 30252  df-nmoo 30253  df-blo 30254
This theorem is referenced by:  nmblolbii  30307  isblo3i  30309  blocni  30313  htthlem  30425
  Copyright terms: Public domain W3C validator