Theorem islmhm3 20205

Description: Property of a module homomorphism, similar to ismhm 18347. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmhm.k	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
islmhm.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
islmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islmhm.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑆)
islmhm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
islmhm.n	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
islmhm3	⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑦,𝐸   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem islmhm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islmhm.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
2		islmhm.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
3		islmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		islmhm.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑆)
5		islmhm.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
6		islmhm.n	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islmhm 20204	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹‘𝑦)))))
8	7	baib 535	1 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹‘𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892   GrpHom cghm 18746  LModclmod 20038   LMHom clmhm 20196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-lmhm 20199

This theorem is referenced by:  islmhm2  20215  pj1lmhm  20277