Theorem islmhm3 20873

Description: Property of a module homomorphism, similar to ismhm 18712. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmhm.k	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
islmhm.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
islmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islmhm.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑆)
islmhm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
islmhm.n	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
islmhm3	⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑦,𝐸   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem islmhm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islmhm.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
2		islmhm.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
3		islmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		islmhm.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑆)
5		islmhm.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
6		islmhm.n	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islmhm 20872	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹‘𝑦)))))
8	7	baib 535	1 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹‘𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206   ·_𝑠 cvsca 17207   GrpHom cghm 19135  LModclmod 20703   LMHom clmhm 20864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-lmhm 20867

This theorem is referenced by:  islmhm2  20883  pj1lmhm  20945